Страница 81 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

177. Представьте трехчлен в виде суммы и в виде разности двух каких-либо двучленов.

a) $x^2 + 2x + 1 = (x^2 + x) + (............)$ ............

$x^2 + 2x + 1 = (............) - (............)$ ............

б) $5y^3 - y - 4 = (............) + (............)$ ............

$5y^3 - y - 4 = (............) + (............)$ ............

Необходимо представить трехчлен $x^2 + 2x + 1$ в виде суммы и в виде разности двух двучленов.

Представление в виде суммы:

В задании предложен шаблон: $x^2 + 2x + 1 = (x^2 + x) + (........)$. Чтобы найти второй двучлен, вычтем из исходного трехчлена первый двучлен:

$(x^2 + 2x + 1) - (x^2 + x) = x^2 + 2x + 1 - x^2 - x = (x^2 - x^2) + (2x - x) + 1 = x + 1$.

Таким образом, второй двучлен — это $(x + 1)$. Проверим: $(x^2 + x) + (x + 1) = x^2 + x + x + 1 = x^2 + 2x + 1$.

Представление в виде разности:

Нужно найти два двучлена, разность которых равна $x^2 + 2x + 1$. Это можно сделать разными способами. Например, прибавим и вычтем одночлен $x$, а затем сгруппируем члены:

$x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 2x + x) - x + 1 = (x^2 + 3x) - (x - 1)$.

При раскрытии скобок $(x - 1)$ знаки меняются на противоположные, и мы получаем $x^2 + 3x - x + 1 = x^2 + 2x + 1$. Выражения $(x^2 + 3x)$ и $(x - 1)$ являются двучленами.

Ответ:
$x^2 + 2x + 1 = (x^2 + x) + (x + 1)$
$x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 3x) - (x - 1)$

Необходимо представить трехчлен $5y^3 - y - 4$ в виде суммы и в виде разности двух двучленов. В условии задачи для этого пункта допущена опечатка, и оба раза предлагается найти сумму. Будем следовать общей постановке задачи и найдем и сумму, и разность.

Представление в виде суммы:

Чтобы получить сумму двух двучленов, можно, например, разбить свободный член $-4$ на два слагаемых: $-4 = -1 - 3$. Тогда:

$5y^3 - y - 4 = 5y^3 - y - 1 - 3 = (5y^3 - 1) + (-y - 3)$.

Выражения $(5y^3 - 1)$ и $(-y - 3)$ являются двучленами. Проверка: $(5y^3 - 1) - y - 3 = 5y^3 - y - 4$.

Представление в виде разности:

Чтобы получить разность двух двучленов, можно прибавить и вычесть какой-либо одночлен. Например, прибавим и вычтем $3y$ и выполним группировку:

$5y^3 - y - 4 = 5y^3 - y + 3y - 3y - 4 = (5y^3 + 2y) - 3y - y - 4$. Этот путь усложняет. Попробуем иначе. Возьмем первый двучлен $(5y^3 + y)$, тогда второй должен быть таким, чтобы разность была равна исходному трехчлену.

$(5y^3 + y) - (?) = 5y^3 - y - 4$

$? = (5y^3 + y) - (5y^3 - y - 4) = 5y^3 + y - 5y^3 + y + 4 = 2y + 4$.

Значит, искомое представление: $(5y^3 + y) - (2y + 4)$. Выражения $(5y^3 + y)$ и $(2y + 4)$ являются двучленами.

Ответ:
$5y^3 - y - 4 = (5y^3 - 1) + (-y - 3)$
$5y^3 - y - 4 = (5y^3 + y) - (2y + 4)$

178. Запишите многочлен, который надо прибавить к трехчлену $2a^2 - 3a + 1$, чтобы выполнялось равенство.

а) $\begin{array}{r} 2a^2 - 3a + 1 \\ + \quad a^2 + 2a + 1 \\ \hline 3a^2 - a + 2 \end{array}$

б) $\begin{array}{r} 2a^2 - 3a + 1 \\ + \quad \text{............} \\ \hline 3a + 1 \end{array}$

в) $\begin{array}{r} 2a^2 - 3a + 1 \\ + \quad \text{............} \\ \hline 2a^2 \end{array}$

а) Чтобы найти многочлен, который нужно прибавить к трехчлену $2a^2 - 3a + 1$, чтобы в результате получился многочлен $3a^2 - a + 2$, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое. Обозначим искомый многочлен как $X$.

Тогда получаем уравнение: $(2a^2 - 3a + 1) + X = 3a^2 - a + 2$.

Выразим $X$:

$X = (3a^2 - a + 2) - (2a^2 - 3a + 1)$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых во второй скобке на противоположные, и приведем подобные члены:

$X = 3a^2 - a + 2 - 2a^2 + 3a - 1 = (3a^2 - 2a^2) + (-a + 3a) + (2 - 1) = a^2 + 2a + 1$.

Ответ: $a^2 + 2a + 1$.

б) Чтобы найти многочлен, который нужно прибавить к $2a^2 - 3a + 1$, чтобы получить $3a + 1$, необходимо из итогового многочлена вычесть исходный. Обозначим искомый многочлен как $X$.

Составим уравнение: $(2a^2 - 3a + 1) + X = 3a + 1$.

Выразим $X$:

$X = (3a + 1) - (2a^2 - 3a + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$X = 3a + 1 - 2a^2 + 3a - 1 = -2a^2 + (3a + 3a) + (1 - 1) = -2a^2 + 6a$.

Ответ: $-2a^2 + 6a$.

в) Чтобы найти многочлен, который нужно прибавить к $2a^2 - 3a + 1$, чтобы получить $2a^2$, необходимо из итогового многочлена вычесть исходный. Обозначим искомый многочлен как $X$.

Составим уравнение: $(2a^2 - 3a + 1) + X = 2a^2$.

Выразим $X$:

$X = (2a^2) - (2a^2 - 3a + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$X = 2a^2 - 2a^2 + 3a - 1 = (2a^2 - 2a^2) + 3a - 1 = 3a - 1$.

Ответ: $3a - 1$.

179. Расставьте скобки так, чтобы выполнялось равенство.

а) $a - 1 - a - 1 = 0$

б) $-a + b - b - a = 0$

в) $a^2 - b^2 - a^2 + b^2 = -2b^2$

г) $a^2 - b^2 - a^2 + b^2 = 2a^2$

а) Для того чтобы левая часть равенства стала равна нулю, необходимо сгруппировать члены таким образом, чтобы они взаимно уничтожились. Если поставить скобки вокруг последних двух членов, то при раскрытии скобок знаки изменятся, что приведет к нужному результату.
Расставим скобки в выражении $a - 1 - a - 1$ следующим образом:
$a - 1 - (a - 1)$
Теперь раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех членов внутри скобок меняются на противоположные:
$a - 1 - a + 1$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(a - a) + (-1 + 1) = 0 + 0 = 0$
Равенство $0 = 0$ верно.
Ответ: $a - 1 - (a - 1) = 0$

б) В этом выражении, $-a + b - b - a$, также нужно получить ноль. Для этого сгруппируем члены так, чтобы они сократились. Если поставить скобки вокруг $b - a$, то знак перед $a$ изменится на противоположный.
Расставим скобки:
$-a + b - (b - a)$
Раскроем скобки, меняя знаки у членов внутри:
$-a + b - b + a$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(-a + a) + (b - b) = 0 + 0 = 0$
Равенство $0 = 0$ верно.
Ответ: $-a + b - (b - a) = 0$

в) В выражении $a^2 - b^2 - a^2 + b^2$ нужно получить $-2b^2$. Это значит, что члены $a^2$ и $-a^2$ должны сократиться, а из $-b^2$ и $+b^2$ нужно получить $-2b^2$. Для этого необходимо, чтобы оба члена с $b^2$ были с отрицательным знаком.
Расставим скобки так, чтобы изменить знак у $+b^2$:
$a^2 - b^2 - (a^2 + b^2)$
Раскроем скобки:
$a^2 - b^2 - a^2 - b^2$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-b^2 - b^2) = 0 - 2b^2 = -2b^2$
Равенство $-2b^2 = -2b^2$ верно.
Ответ: $a^2 - b^2 - (a^2 + b^2) = -2b^2$

г) В выражении $a^2 - b^2 - a^2 + b^2$ нужно получить $2a^2$. Это означает, что члены с $b^2$ должны взаимно уничтожиться, а члены с $a^2$ должны в сумме дать $2a^2$. Для этого нужно изменить знак у $-a^2$ на положительный.
Расставим скобки, чтобы изменить знак у $-a^2$:
$a^2 - (b^2 - a^2) + b^2$
Раскроем скобки:
$a^2 - b^2 + a^2 + b^2$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(a^2 + a^2) + (-b^2 + b^2) = 2a^2 + 0 = 2a^2$
Равенство $2a^2 = 2a^2$ верно.
Ответ: $a^2 - (b^2 - a^2) + b^2 = 2a^2$

180. Число, в котором x сотен, y десятков, z единиц, записывают так: $\overline{xyz}$. Это число может быть представлено в виде многочлена: $\overline{xyz} = 100x + 10y + z$.

1) Запишите все возможные числа, в записи которых используются цифры x, y и z, причем только один раз. Представьте их в виде многочлена.

$\overline{xyz} = $ ....................... .......................

2) Представьте в виде многочлена стандартного вида сумму этих чисел.

.......................

.......................

3) Составьте разность многочленов и упростите ее.

а) $\overline{xyz} - \overline{zyx} = $ .......................

б) $\overline{xyz} - \overline{zxy} = $ .......................

4) Докажите, что разность делится на 9.

1) Запишите все возможные числа, в записи которых используются цифры x, y и z, причем только один раз. Представьте их в виде многочлена.

Из трех различных цифр $x$, $y$ и $z$ можно составить 6 различных трехзначных чисел. Это все возможные перестановки этих трех цифр. Представим каждое такое число в виде многочлена (разложения по разрядам):

• Число $\overline{xyz}$ (x сотен, y десятков, z единиц) записывается как $100x + 10y + z$.
• Число $\overline{xzy}$ (x сотен, z десятков, y единиц) записывается как $100x + 10z + y$.
• Число $\overline{yxz}$ (y сотен, x десятков, z единиц) записывается как $100y + 10x + z$.
• Число $\overline{yzx}$ (y сотен, z десятков, x единиц) записывается как $100y + 10z + x$.
• Число $\overline{zxy}$ (z сотен, x десятков, y единиц) записывается как $100z + 10x + y$.
• Число $\overline{zyx}$ (z сотен, y десятков, x единиц) записывается как $100z + 10y + x$.

Ответ: $\overline{xyz} = 100x + 10y + z$; $\overline{xzy} = 100x + 10z + y$; $\overline{yxz} = 100y + 10x + z$; $\overline{yzx} = 100y + 10z + x$; $\overline{zxy} = 100z + 10x + y$; $\overline{zyx} = 100z + 10y + x$.

2) Представьте в виде многочлена стандартного вида сумму этих чисел.

Чтобы найти сумму этих чисел, сложим все многочлены, полученные в предыдущем пункте:

$(100x + 10y + z) + (100x + 10z + y) + (100y + 10x + z) + (100y + 10z + x) + (100z + 10x + y) + (100z + 10y + x)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными ($x$, $y$, $z$):

Для $x$: $100x + 100x + 10x + x + 10x + x = (100+100+10+1+10+1)x = 222x$

Для $y$: $10y + y + 100y + 100y + y + 10y = (10+1+100+100+1+10)y = 222y$

Для $z$: $z + 10z + z + 10z + 100z + 100z = (1+10+1+10+100+100)z = 222z$

Сложив все вместе, получим многочлен стандартного вида:

$222x + 222y + 222z$

Ответ: $222x + 222y + 222z$.

3) Составьте разность многочленов и упростите ее.

а) $\overline{xyz} - \overline{zyx}$

Запишем разность соответствующих многочленов:

$(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$100x + 10y + z - 100z - 10y - x = (100x - x) + (10y - 10y) + (z - 100z) = 99x - 99z$

Ответ: $99x - 99z$.

б) $\overline{xyz} - \overline{zxy}$

Запишем разность соответствующих многочленов:

$(100x + 10y + z) - (100z + 10x + y)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$100x + 10y + z - 100z - 10x - y = (100x - 10x) + (10y - y) + (z - 100z) = 90x + 9y - 99z$

Ответ: $90x + 9y - 99z$.

4) Докажите, что разность делится на 9.

Рассмотрим разности, полученные в пункте 3, и докажем, что каждая из них делится на 9.

а) Разность $\overline{xyz} - \overline{zyx}$ равна многочлену $99x - 99z$. Вынесем общий множитель за скобки:

$99x - 99z = 99(x-z) = 9 \cdot 11(x-z)$

Так как $x$ и $z$ — целые числа (цифры), то выражение $11(x-z)$ также является целым числом. Поскольку в произведении есть множитель 9, все выражение делится на 9 нацело.

б) Разность $\overline{xyz} - \overline{zxy}$ равна многочлену $90x + 9y - 99z$. Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$90x + 9y - 99z = 9(10x + y - 11z)$

Так как $x$, $y$, $z$ — целые числа (цифры), то выражение в скобках $(10x + y - 11z)$ является целым числом. Поскольку в произведении есть множитель 9, все выражение делится на 9 нацело.

В общем случае, разность любых двух чисел, составленных из одних и тех же цифр, всегда делится на 9. Это следует из признака делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. У всех чисел, составленных из цифр $x, y, z$, сумма цифр одинакова и равна $x+y+z$. Следовательно, все они дают одинаковый остаток при делении на 9, а их разность всегда будет делиться на 9.

Ответ: В каждом случае полученное выражение содержит множитель 9, что доказывает его делимость на 9.