Номер 180, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

7. Многочлены - номер 180, страница 81.

Условие.

180. Число, в котором x сотен, y десятков, z единиц, записывают так: $\overline{xyz}$. Это число может быть представлено в виде многочлена: $\overline{xyz} = 100x + 10y + z$.

1) Запишите все возможные числа, в записи которых используются цифры x, y и z, причем только один раз. Представьте их в виде многочлена.

$\overline{xyz} = $ ....................... .......................

2) Представьте в виде многочлена стандартного вида сумму этих чисел.

.......................

.......................

3) Составьте разность многочленов и упростите ее.

а) $\overline{xyz} - \overline{zyx} = $ .......................

б) $\overline{xyz} - \overline{zxy} = $ .......................

4) Докажите, что разность делится на 9.

Решение.

Решение 2.

1) Запишите все возможные числа, в записи которых используются цифры x, y и z, причем только один раз. Представьте их в виде многочлена.

Из трех различных цифр $x$, $y$ и $z$ можно составить 6 различных трехзначных чисел. Это все возможные перестановки этих трех цифр. Представим каждое такое число в виде многочлена (разложения по разрядам):

• Число $\overline{xyz}$ (x сотен, y десятков, z единиц) записывается как $100x + 10y + z$.
• Число $\overline{xzy}$ (x сотен, z десятков, y единиц) записывается как $100x + 10z + y$.
• Число $\overline{yxz}$ (y сотен, x десятков, z единиц) записывается как $100y + 10x + z$.
• Число $\overline{yzx}$ (y сотен, z десятков, x единиц) записывается как $100y + 10z + x$.
• Число $\overline{zxy}$ (z сотен, x десятков, y единиц) записывается как $100z + 10x + y$.
• Число $\overline{zyx}$ (z сотен, y десятков, x единиц) записывается как $100z + 10y + x$.

Ответ: $\overline{xyz} = 100x + 10y + z$; $\overline{xzy} = 100x + 10z + y$; $\overline{yxz} = 100y + 10x + z$; $\overline{yzx} = 100y + 10z + x$; $\overline{zxy} = 100z + 10x + y$; $\overline{zyx} = 100z + 10y + x$.

2) Представьте в виде многочлена стандартного вида сумму этих чисел.

Чтобы найти сумму этих чисел, сложим все многочлены, полученные в предыдущем пункте:

$(100x + 10y + z) + (100x + 10z + y) + (100y + 10x + z) + (100y + 10z + x) + (100z + 10x + y) + (100z + 10y + x)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными ($x$, $y$, $z$):

Для $x$: $100x + 100x + 10x + x + 10x + x = (100+100+10+1+10+1)x = 222x$

Для $y$: $10y + y + 100y + 100y + y + 10y = (10+1+100+100+1+10)y = 222y$

Для $z$: $z + 10z + z + 10z + 100z + 100z = (1+10+1+10+100+100)z = 222z$

Сложив все вместе, получим многочлен стандартного вида:

$222x + 222y + 222z$

Ответ: $222x + 222y + 222z$.

3) Составьте разность многочленов и упростите ее.

а) $\overline{xyz} - \overline{zyx}$

Запишем разность соответствующих многочленов:

$(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$100x + 10y + z - 100z - 10y - x = (100x - x) + (10y - 10y) + (z - 100z) = 99x - 99z$

Ответ: $99x - 99z$.

б) $\overline{xyz} - \overline{zxy}$

Запишем разность соответствующих многочленов:

$(100x + 10y + z) - (100z + 10x + y)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$100x + 10y + z - 100z - 10x - y = (100x - 10x) + (10y - y) + (z - 100z) = 90x + 9y - 99z$

Ответ: $90x + 9y - 99z$.

4) Докажите, что разность делится на 9.

Рассмотрим разности, полученные в пункте 3, и докажем, что каждая из них делится на 9.

а) Разность $\overline{xyz} - \overline{zyx}$ равна многочлену $99x - 99z$. Вынесем общий множитель за скобки:

$99x - 99z = 99(x-z) = 9 \cdot 11(x-z)$

Так как $x$ и $z$ — целые числа (цифры), то выражение $11(x-z)$ также является целым числом. Поскольку в произведении есть множитель 9, все выражение делится на 9 нацело.

б) Разность $\overline{xyz} - \overline{zxy}$ равна многочлену $90x + 9y - 99z$. Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$90x + 9y - 99z = 9(10x + y - 11z)$

Так как $x$, $y$, $z$ — целые числа (цифры), то выражение в скобках $(10x + y - 11z)$ является целым числом. Поскольку в произведении есть множитель 9, все выражение делится на 9 нацело.

В общем случае, разность любых двух чисел, составленных из одних и тех же цифр, всегда делится на 9. Это следует из признака делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. У всех чисел, составленных из цифр $x, y, z$, сумма цифр одинакова и равна $x+y+z$. Следовательно, все они дают одинаковый остаток при делении на 9, а их разность всегда будет делиться на 9.

Ответ: В каждом случае полученное выражение содержит множитель 9, что доказывает его делимость на 9.