Номер 182, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

7. Многочлены - номер 182, страница 83.

Условие.

182. Представьте в виде многочлена.

а) $x(y^2 - 1) - y(x^2 - 1) = $

б) $a^2(b - a) + b^2(a - b) = $

в) $-2m(n^2 - m) + 3n(m^2 - n) = $

г) $-t^6(t - 4) - t^4(t - 5) = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы представить выражение $x(y^2 - 1) - y(x^2 - 1)$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки. Для этого умножим каждый член в скобках на множитель, стоящий перед ними.
1. Умножим $x$ на $(y^2 - 1)$:
$x \cdot y^2 - x \cdot 1 = xy^2 - x$
2. Умножим $-y$ на $(x^2 - 1)$:
$-y \cdot x^2 - y \cdot (-1) = -yx^2 + y$
3. Сложим полученные результаты:
$(xy^2 - x) + (-yx^2 + y) = xy^2 - x - yx^2 + y$
4. Переставим члены для стандартного вида (не обязательно, но рекомендуется):
$xy^2 - x^2y - x + y$
Подобных слагаемых в полученном выражении нет.
Ответ: $xy^2 - x^2y - x + y$

б) Чтобы представить выражение $a^2(b - a) + b^2(a - b)$ в виде многочлена, раскроем скобки.
1. Умножим $a^2$ на $(b - a)$:
$a^2 \cdot b - a^2 \cdot a = a^2b - a^3$
2. Умножим $b^2$ на $(a - b)$:
$b^2 \cdot a - b^2 \cdot b = ab^2 - b^3$
3. Сложим полученные многочлены:
$(a^2b - a^3) + (ab^2 - b^3) = a^2b - a^3 + ab^2 - b^3$
4. Запишем итоговый многочлен в стандартном виде, упорядочив его члены по убыванию степеней переменной $a$:
$-a^3 + a^2b + ab^2 - b^3$
Ответ: $-a^3 + a^2b + ab^2 - b^3$

в) Чтобы представить выражение $-2m(n^2 - m) + 3n(m^2 - n)$ в виде многочлена, раскроем скобки.
1. Умножим $-2m$ на $(n^2 - m)$:
$-2m \cdot n^2 - 2m \cdot (-m) = -2mn^2 + 2m^2$
2. Умножим $3n$ на $(m^2 - n)$:
$3n \cdot m^2 + 3n \cdot (-n) = 3nm^2 - 3n^2$
3. Сложим полученные результаты:
$(-2mn^2 + 2m^2) + (3nm^2 - 3n^2) = -2mn^2 + 2m^2 + 3m^2n - 3n^2$
4. Упорядочим члены многочлена для стандартного вида:
$2m^2 + 3m^2n - 2mn^2 - 3n^2$
Ответ: $2m^2 + 3m^2n - 2mn^2 - 3n^2$

г) Чтобы представить выражение $-t^6(t - 4) - t^4(t - 5)$ в виде многочлена, раскроем скобки. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($t^a \cdot t^b = t^{a+b}$).
1. Умножим $-t^6$ на $(t - 4)$:
$-t^6 \cdot t - t^6 \cdot (-4) = -t^{6+1} + 4t^6 = -t^7 + 4t^6$
2. Умножим $-t^4$ на $(t - 5)$:
$-t^4 \cdot t - t^4 \cdot (-5) = -t^{4+1} + 5t^4 = -t^5 + 5t^4$
3. Сложим полученные выражения:
$(-t^7 + 4t^6) + (-t^5 + 5t^4) = -t^7 + 4t^6 - t^5 + 5t^4$
Данный многочлен уже записан в стандартном виде, так как его члены расположены в порядке убывания степеней переменной $t$.
Ответ: $-t^7 + 4t^6 - t^5 + 5t^4$