Номер 185, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

7. Многочлены - номер 185, страница 83.

Условие.

185. a) $m(m + n) + n(m - n) = m^2 + mn + \dots$

б) $x(x - y) - y(y - x) = \dots$

в) $x(1 - x^2) + x^2(1 - x) = \dots$

г) $2(y^2 - 5) - 5(2 - y^2) = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы упростить выражение $m(m + n) + n(m - n)$, нужно раскрыть скобки, умножив множитель перед скобками на каждый член внутри скобок, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскрываем скобки:

$m(m + n) = m \cdot m + m \cdot n = m^2 + mn$

$n(m - n) = n \cdot m - n \cdot n = mn - n^2$

2. Складываем полученные выражения:

$m^2 + mn + mn - n^2$

3. Приводим подобные слагаемые ($mn + mn$):

$m^2 + (mn + mn) - n^2 = m^2 + 2mn - n^2$

Ответ: $m^2 + 2mn - n^2$

б) Чтобы упростить выражение $x(x - y) - y(y - x)$, также раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскрываем скобки. Обращаем внимание, что перед вторым слагаемым стоит знак "минус", поэтому при умножении $-y$ на члены в скобках $(y - x)$ знаки будут меняться.

$x(x - y) - y(y - x) = (x \cdot x - x \cdot y) + (-y \cdot y - y \cdot (-x)) = x^2 - xy - y^2 + yx$

2. Так как $yx$ это то же самое, что и $xy$, перепишем выражение:

$x^2 - xy - y^2 + xy$

3. Приводим подобные слагаемые ($-xy$ и $+xy$):

$x^2 - y^2 + (-xy + xy) = x^2 - y^2 + 0 = x^2 - y^2$

Ответ: $x^2 - y^2$

в) Упростим выражение $x(1 - x^2) + x^2(1 - x)$.

1. Раскрываем скобки в каждом слагаемом:

$x(1 - x^2) + x^2(1 - x) = (x \cdot 1 - x \cdot x^2) + (x^2 \cdot 1 - x^2 \cdot x) = x - x^3 + x^2 - x^3$

2. Группируем и приводим подобные слагаемые ($-x^3$ и $-x^3$):

$x + x^2 + (-x^3 - x^3) = x + x^2 - 2x^3$

3. Для стандартной записи многочлена расположим его члены в порядке убывания степеней:

$-2x^3 + x^2 + x$

Ответ: $-2x^3 + x^2 + x$

г) Упростим выражение $2(y^2 - 5) - 5(2 - y^2)$.

1. Раскрываем скобки:

$2(y^2 - 5) = 2y^2 - 10$

$-5(2 - y^2) = -5 \cdot 2 - 5 \cdot (-y^2) = -10 + 5y^2$

2. Складываем полученные выражения:

$2y^2 - 10 - 10 + 5y^2$

3. Приводим подобные слагаемые. Сначала слагаемые с переменной ($2y^2$ и $5y^2$), затем свободные члены ($-10$ и $-10$):

$(2y^2 + 5y^2) + (-10 - 10) = 7y^2 - 20$

Ответ: $7y^2 - 20$