Страница 83 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

182. Представьте в виде многочлена.

а) $x(y^2 - 1) - y(x^2 - 1) = $

б) $a^2(b - a) + b^2(a - b) = $

в) $-2m(n^2 - m) + 3n(m^2 - n) = $

г) $-t^6(t - 4) - t^4(t - 5) = $

а) Чтобы представить выражение $x(y^2 - 1) - y(x^2 - 1)$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки. Для этого умножим каждый член в скобках на множитель, стоящий перед ними.
1. Умножим $x$ на $(y^2 - 1)$:
$x \cdot y^2 - x \cdot 1 = xy^2 - x$
2. Умножим $-y$ на $(x^2 - 1)$:
$-y \cdot x^2 - y \cdot (-1) = -yx^2 + y$
3. Сложим полученные результаты:
$(xy^2 - x) + (-yx^2 + y) = xy^2 - x - yx^2 + y$
4. Переставим члены для стандартного вида (не обязательно, но рекомендуется):
$xy^2 - x^2y - x + y$
Подобных слагаемых в полученном выражении нет.
Ответ: $xy^2 - x^2y - x + y$

б) Чтобы представить выражение $a^2(b - a) + b^2(a - b)$ в виде многочлена, раскроем скобки.
1. Умножим $a^2$ на $(b - a)$:
$a^2 \cdot b - a^2 \cdot a = a^2b - a^3$
2. Умножим $b^2$ на $(a - b)$:
$b^2 \cdot a - b^2 \cdot b = ab^2 - b^3$
3. Сложим полученные многочлены:
$(a^2b - a^3) + (ab^2 - b^3) = a^2b - a^3 + ab^2 - b^3$
4. Запишем итоговый многочлен в стандартном виде, упорядочив его члены по убыванию степеней переменной $a$:
$-a^3 + a^2b + ab^2 - b^3$
Ответ: $-a^3 + a^2b + ab^2 - b^3$

в) Чтобы представить выражение $-2m(n^2 - m) + 3n(m^2 - n)$ в виде многочлена, раскроем скобки.
1. Умножим $-2m$ на $(n^2 - m)$:
$-2m \cdot n^2 - 2m \cdot (-m) = -2mn^2 + 2m^2$
2. Умножим $3n$ на $(m^2 - n)$:
$3n \cdot m^2 + 3n \cdot (-n) = 3nm^2 - 3n^2$
3. Сложим полученные результаты:
$(-2mn^2 + 2m^2) + (3nm^2 - 3n^2) = -2mn^2 + 2m^2 + 3m^2n - 3n^2$
4. Упорядочим члены многочлена для стандартного вида:
$2m^2 + 3m^2n - 2mn^2 - 3n^2$
Ответ: $2m^2 + 3m^2n - 2mn^2 - 3n^2$

г) Чтобы представить выражение $-t^6(t - 4) - t^4(t - 5)$ в виде многочлена, раскроем скобки. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($t^a \cdot t^b = t^{a+b}$).
1. Умножим $-t^6$ на $(t - 4)$:
$-t^6 \cdot t - t^6 \cdot (-4) = -t^{6+1} + 4t^6 = -t^7 + 4t^6$
2. Умножим $-t^4$ на $(t - 5)$:
$-t^4 \cdot t - t^4 \cdot (-5) = -t^{4+1} + 5t^4 = -t^5 + 5t^4$
3. Сложим полученные выражения:
$(-t^7 + 4t^6) + (-t^5 + 5t^4) = -t^7 + 4t^6 - t^5 + 5t^4$
Данный многочлен уже записан в стандартном виде, так как его члены расположены в порядке убывания степеней переменной $t$.
Ответ: $-t^7 + 4t^6 - t^5 + 5t^4$

183. Умножьте одночлен на многочлен.

a) $x$

$\times [\downarrow]$

$2x^2 - x - 1$

...............

б) $ab^2$

$\times [\downarrow]$

$-3a - ab + b$

...............

в) $-4y$

$\times [\downarrow]$

$y^2 - xy + x^2$

...............

г) $-5k^2$

$\times [\downarrow]$

$4k^5 - 2k^3 + 1$

...............

а)

Чтобы умножить одночлен $x$ на многочлен $(2x^2 - x - 1)$, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена, а затем сложить полученные произведения. Это действие основано на распределительном свойстве умножения.

$x \cdot (2x^2 - x - 1) = x \cdot (2x^2) + x \cdot (-x) + x \cdot (-1)$

Выполним умножение для каждого члена многочлена:

1. Умножим $x$ на $2x^2$: $x \cdot 2x^2 = 2 \cdot x^1 \cdot x^2 = 2x^{1+2} = 2x^3$.

2. Умножим $x$ на $-x$: $x \cdot (-x) = -1 \cdot x^1 \cdot x^1 = -x^{1+1} = -x^2$.

3. Умножим $x$ на $-1$: $x \cdot (-1) = -x$.

Теперь сложим полученные результаты:

$2x^3 - x^2 - x$.

Ответ: $2x^3 - x^2 - x$

б)

Умножим одночлен $ab^2$ на многочлен $(-3a - ab + b)$, применяя распределительное свойство.

$ab^2 \cdot (-3a - ab + b) = ab^2 \cdot (-3a) + ab^2 \cdot (-ab) + ab^2 \cdot b$

Выполним умножение для каждого члена многочлена:

1. Умножим $ab^2$ на $-3a$: $ab^2 \cdot (-3a) = -3 \cdot (a \cdot a) \cdot b^2 = -3a^2b^2$.

2. Умножим $ab^2$ на $-ab$: $ab^2 \cdot (-ab) = -1 \cdot (a \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b) = -a^2b^3$.

3. Умножим $ab^2$ на $b$: $ab^2 \cdot b = a \cdot (b^2 \cdot b) = ab^3$.

Сложим полученные одночлены:

$-3a^2b^2 - a^2b^3 + ab^3$.

Ответ: $-3a^2b^2 - a^2b^3 + ab^3$

в)

Умножим одночлен $-4y$ на многочлен $(y^2 - xy + x^2)$.

$-4y \cdot (y^2 - xy + x^2) = (-4y) \cdot y^2 + (-4y) \cdot (-xy) + (-4y) \cdot x^2$

Выполним умножение для каждого члена многочлена:

1. Умножим $-4y$ на $y^2$: $(-4y) \cdot y^2 = -4y^{1+2} = -4y^3$.

2. Умножим $-4y$ на $-xy$: $(-4y) \cdot (-xy) = (-4)(-1) \cdot x \cdot (y \cdot y) = 4xy^2$.

3. Умножим $-4y$ на $x^2$: $(-4y) \cdot x^2 = -4x^2y$.

Сложим полученные результаты:

$-4y^3 + 4xy^2 - 4x^2y$.

Ответ: $-4y^3 + 4xy^2 - 4x^2y$

г)

Умножим одночлен $-5k^2$ на многочлен $(4k^5 - 2k^3 + 1)$.

$-5k^2 \cdot (4k^5 - 2k^3 + 1) = (-5k^2) \cdot (4k^5) + (-5k^2) \cdot (-2k^3) + (-5k^2) \cdot 1$

Выполним умножение для каждого члена многочлена:

1. Умножим $-5k^2$ на $4k^5$: $(-5k^2) \cdot (4k^5) = (-5 \cdot 4) \cdot k^{2+5} = -20k^7$.

2. Умножим $-5k^2$ на $-2k^3$: $(-5k^2) \cdot (-2k^3) = (-5 \cdot -2) \cdot k^{2+3} = 10k^5$.

3. Умножим $-5k^2$ на $1$: $(-5k^2) \cdot 1 = -5k^2$.

Сложим полученные результаты:

$-20k^7 + 10k^5 - 5k^2$.

Ответ: $-20k^7 + 10k^5 - 5k^2$

184. a) $x^2 - x(2x + 1) = x^2 - x \cdot 2x - x \cdot 1 =$

б) $5y^3 + y^2(2 - y) = \ldots$

в) $4ab - a(2b - a) = \ldots$

г) $-3m^2(1 - m) - 2m^3 = \ldots$

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо сначала раскрыть скобки, умножив одночлен $-x$ на каждый член многочлена $(2x + 1)$, а затем привести подобные слагаемые.
$x^2 - x(2x + 1) = x^2 - (x \cdot 2x + x \cdot 1) = x^2 - 2x^2 - x$
Теперь приведем подобные слагаемые, содержащие $x^2$:
$(1-2)x^2 - x = -1 \cdot x^2 - x = -x^2 - x$
Ответ: $-x^2 - x$

б) Для упрощения выражения $5y^3 + y^2(2 - y)$ раскроем скобки, умножив $y^2$ на каждый член многочлена $(2 - y)$.
$5y^3 + y^2(2 - y) = 5y^3 + y^2 \cdot 2 + y^2 \cdot (-y) = 5y^3 + 2y^2 - y^3$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5y^3 - y^3) + 2y^2 = 4y^3 + 2y^2$
Ответ: $4y^3 + 2y^2$

в) Чтобы упростить выражение $4ab - a(2b - a)$, раскроем скобки. Для этого умножим $-a$ на каждый член в скобках $(2b - a)$.
$4ab - a(2b - a) = 4ab - (a \cdot 2b - a \cdot a) = 4ab - 2ab + a^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(4ab - 2ab) + a^2 = 2ab + a^2$
Ответ: $2ab + a^2$

г) Для упрощения выражения $-3m^2(1 - m) - 2m^3$ сначала раскроем скобки, умножив $-3m^2$ на каждый член многочлена $(1 - m)$.
$-3m^2(1 - m) - 2m^3 = (-3m^2 \cdot 1) + (-3m^2 \cdot (-m)) - 2m^3 = -3m^2 + 3m^3 - 2m^3$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(3m^3 - 2m^3) - 3m^2 = m^3 - 3m^2$
Ответ: $m^3 - 3m^2$

185. a) $m(m + n) + n(m - n) = m^2 + mn + \dots$

б) $x(x - y) - y(y - x) = \dots$

в) $x(1 - x^2) + x^2(1 - x) = \dots$

г) $2(y^2 - 5) - 5(2 - y^2) = \dots$

а) Чтобы упростить выражение $m(m + n) + n(m - n)$, нужно раскрыть скобки, умножив множитель перед скобками на каждый член внутри скобок, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскрываем скобки:

$m(m + n) = m \cdot m + m \cdot n = m^2 + mn$

$n(m - n) = n \cdot m - n \cdot n = mn - n^2$

2. Складываем полученные выражения:

$m^2 + mn + mn - n^2$

3. Приводим подобные слагаемые ($mn + mn$):

$m^2 + (mn + mn) - n^2 = m^2 + 2mn - n^2$

Ответ: $m^2 + 2mn - n^2$

б) Чтобы упростить выражение $x(x - y) - y(y - x)$, также раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскрываем скобки. Обращаем внимание, что перед вторым слагаемым стоит знак "минус", поэтому при умножении $-y$ на члены в скобках $(y - x)$ знаки будут меняться.

$x(x - y) - y(y - x) = (x \cdot x - x \cdot y) + (-y \cdot y - y \cdot (-x)) = x^2 - xy - y^2 + yx$

2. Так как $yx$ это то же самое, что и $xy$, перепишем выражение:

$x^2 - xy - y^2 + xy$

3. Приводим подобные слагаемые ($-xy$ и $+xy$):

$x^2 - y^2 + (-xy + xy) = x^2 - y^2 + 0 = x^2 - y^2$

Ответ: $x^2 - y^2$

в) Упростим выражение $x(1 - x^2) + x^2(1 - x)$.

1. Раскрываем скобки в каждом слагаемом:

$x(1 - x^2) + x^2(1 - x) = (x \cdot 1 - x \cdot x^2) + (x^2 \cdot 1 - x^2 \cdot x) = x - x^3 + x^2 - x^3$

2. Группируем и приводим подобные слагаемые ($-x^3$ и $-x^3$):

$x + x^2 + (-x^3 - x^3) = x + x^2 - 2x^3$

3. Для стандартной записи многочлена расположим его члены в порядке убывания степеней:

$-2x^3 + x^2 + x$

Ответ: $-2x^3 + x^2 + x$

г) Упростим выражение $2(y^2 - 5) - 5(2 - y^2)$.

1. Раскрываем скобки:

$2(y^2 - 5) = 2y^2 - 10$

$-5(2 - y^2) = -5 \cdot 2 - 5 \cdot (-y^2) = -10 + 5y^2$

2. Складываем полученные выражения:

$2y^2 - 10 - 10 + 5y^2$

3. Приводим подобные слагаемые. Сначала слагаемые с переменной ($2y^2$ и $5y^2$), затем свободные члены ($-10$ и $-10$):

$(2y^2 + 5y^2) + (-10 - 10) = 7y^2 - 20$

Ответ: $7y^2 - 20$