Страница 77 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

164. Представьте многочлен в стандартном виде.

а) $2a \cdot 3 + 3b \cdot 2a + a^2 \cdot 2b = \dots$

б) $5x \cdot 2a + 5x \cdot 3b - y \cdot 2a - y \cdot 3b = \dots$

в) $(-1) \cdot 6m + 8n \cdot (-4m) - m^2 \cdot 2m = \dots$

г) $10a^3 \cdot (-5) + 3b \cdot (-a^2) + 7ab \cdot 2ab = \dots$

а)

Для того чтобы представить многочлен в стандартном виде, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Привести каждый член многочлена (одночлен) к стандартному виду. Это означает, что нужно перемножить все числовые множители, а переменные записать в алфавитном порядке, сложив их показатели степеней.
2. Сложить подобные члены (члены с одинаковой буквенной частью).
3. Расположить полученные члены в порядке убывания их степеней.

Рассмотрим выражение: $2a \cdot 3 + 3b \cdot 2a + a^2 \cdot 2b$.

1. Упростим каждый член многочлена:

Первый член: $2a \cdot 3 = (2 \cdot 3)a = 6a$.

Второй член: $3b \cdot 2a = (3 \cdot 2)ab = 6ab$.

Третий член: $a^2 \cdot 2b = 2a^2b$.

2. Запишем многочлен с упрощенными членами: $6a + 6ab + 2a^2b$.

3. Подобных членов в данном многочлене нет, так как все они имеют разную буквенную часть ($a$, $ab$, $a^2b$).

4. Расположим члены многочлена в порядке убывания их степеней. Степень члена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Степень члена $2a^2b$ равна $2 + 1 = 3$.

Степень члена $6ab$ равна $1 + 1 = 2$.

Степень члена $6a$ равна $1$.

Таким образом, многочлен в стандартном виде записывается как $2a^2b + 6ab + 6a$.

Ответ: $2a^2b + 6ab + 6a$

б)

Рассмотрим выражение: $5x \cdot 2a + 5x \cdot 3b - y \cdot 2a - y \cdot 3b$.

1. Упростим каждый член многочлена, перемножая числовые коэффициенты и располагая переменные в алфавитном порядке:

$5x \cdot 2a = (5 \cdot 2)ax = 10ax$.

$5x \cdot 3b = (5 \cdot 3)bx = 15bx$.

$-y \cdot 2a = -2ay$.

$-y \cdot 3b = -3by$.

2. Запишем многочлен: $10ax + 15bx - 2ay - 3by$.

3. Подобных членов для сложения нет. Все члены имеют вторую степень. В таких случаях члены принято располагать в лексикографическом порядке их буквенных частей (сначала по первой букве, затем по второй и т.д.: $ax, ay, bx, by$).

Таким образом, многочлен в стандартном виде записывается как $10ax - 2ay + 15bx - 3by$.

Ответ: $10ax - 2ay + 15bx - 3by$

в)

Рассмотрим выражение: $(-1) \cdot 6m + 8n \cdot (-4m) - m^2 \cdot 2m$.

1. Упростим каждый член многочлена:

$(-1) \cdot 6m = -6m$.

$8n \cdot (-4m) = (8 \cdot (-4))mn = -32mn$.

$-m^2 \cdot 2m = -2(m^2 \cdot m^1) = -2m^{2+1} = -2m^3$.

2. Запишем многочлен с упрощенными членами: $-6m - 32mn - 2m^3$.

3. Подобных членов нет.

4. Расположим члены в порядке убывания их степеней:

Степень члена $-2m^3$ равна $3$.

Степень члена $-32mn$ равна $1 + 1 = 2$.

Степень члена $-6m$ равна $1$.

Таким образом, многочлен в стандартном виде записывается как $-2m^3 - 32mn - 6m$.

Ответ: $-2m^3 - 32mn - 6m$

г)

Рассмотрим выражение: $10a^3 \cdot (-5) + 3b \cdot (-a^2) + 7ab \cdot 2ab$.

1. Упростим каждый член многочлена:

$10a^3 \cdot (-5) = (10 \cdot (-5))a^3 = -50a^3$.

$3b \cdot (-a^2) = -3a^2b$.

$7ab \cdot 2ab = (7 \cdot 2)(a \cdot a)(b \cdot b) = 14a^2b^2$.

2. Запишем многочлен с упрощенными членами: $-50a^3 - 3a^2b + 14a^2b^2$.

3. Подобных членов нет.

4. Расположим члены в порядке убывания их степеней:

Степень члена $14a^2b^2$ равна $2 + 2 = 4$.

Степень члена $-50a^3$ равна $3$.

Степень члена $-3a^2b$ равна $2 + 1 = 3$.

Сначала идет член с наибольшей степенью ($4$). Затем идут члены со степенью $3$. Члены одинаковой степени принято располагать в лексикографическом порядке их буквенных частей. Сравнивая $a^3$ и $a^2b$, $a^3$ идет раньше.

Таким образом, многочлен в стандартном виде записывается как $14a^2b^2 - 50a^3 - 3a^2b$.

Ответ: $14a^2b^2 - 50a^3 - 3a^2b$

165. Подчеркните многочлен третьей степени.

$3y + 3y^2$ $x^3 + x^2 + x + 1$ $a^3 - 1$

$a^3 + b^3$ $x^2 + 2x + 5$ $m^3 - 2m^2$

Для того чтобы определить степень многочлена, необходимо найти наибольшую из степеней его членов (одночленов). Степень многочлена равна этой наибольшей степени. Многочлен является многочленом третьей степени, если наибольшая степень его членов равна 3.

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Степень числового коэффициента (константы) считается равной нулю.

Проанализируем каждый из предложенных многочленов:

$3y + 3y^2$

Этот многочлен состоит из двух членов: $3y$ и $3y^2$.
Степень члена $3y$ (или $3y^1$) равна 1.
Степень члена $3y^2$ равна 2.
Наибольшая степень среди членов многочлена равна 2. Следовательно, это многочлен второй степени.
Ответ: не является многочленом третьей степени.

$x^3 + x^2 + x + 1$

Этот многочлен состоит из четырех членов: $x^3$, $x^2$, $x$ и $1$.
Степень члена $x^3$ равна 3.
Степень члена $x^2$ равна 2.
Степень члена $x$ (или $x^1$) равна 1.
Степень члена $1$ (или $1x^0$) равна 0.
Наибольшая степень среди членов многочлена равна 3.
Ответ: является многочленом третьей степени.

$a^3 - 1$

Этот многочлен состоит из двух членов: $a^3$ и $-1$.
Степень члена $a^3$ равна 3.
Степень члена $-1$ (или $-1a^0$) равна 0.
Наибольшая степень среди членов многочлена равна 3.
Ответ: является многочленом третьей степени.

$a^3 + b^3$

Этот многочлен состоит из двух членов, содержащих разные переменные: $a^3$ и $b^3$.
Степень члена $a^3$ равна 3.
Степень члена $b^3$ равна 3.
Наибольшая степень среди членов многочлена равна 3.
Ответ: является многочленом третьей степени.

$x^2 + 2x + 5$

Этот многочлен состоит из трех членов: $x^2$, $2x$ и $5$.
Степень члена $x^2$ равна 2.
Степень члена $2x$ (или $2x^1$) равна 1.
Степень члена $5$ (или $5x^0$) равна 0.
Наибольшая степень среди членов многочлена равна 2. Следовательно, это многочлен второй степени.
Ответ: не является многочленом третьей степени.

$m^3 - 2m^2$

Этот многочлен состоит из двух членов: $m^3$ и $-2m^2$.
Степень члена $m^3$ равна 3.
Степень члена $-2m^2$ равна 2.
Наибольшая степень среди членов многочлена равна 3.
Ответ: является многочленом третьей степени.

Таким образом, выполнив требование задачи, подчеркнем найденные многочлены третьей степени:

$x^3 + x^2 + x + 1$

$a^3 - 1$

$a^3 + b^3$

$m^3 - 2m^2$

166. Расположите многочлен по убыванию степеней переменной.

a) $10y - 4y^2 + 5y^3 - 3 = 5y^3 - 4y^2 + \dots$

б) $x^4 - 2x^5 - 5x^2 + x^3 - 4x - 1 = \dots$

в) $6 - 9x^3 + x = \dots$

г) $-2k^7 - 5k^9 - 8k^5 = \dots$

а) Чтобы расположить многочлен $10y - 4y^2 + 5y^3 - 3$ по убыванию степеней переменной $y$, нужно определить степень каждого его члена и записать их в порядке от наибольшей степени к наименьшей. Степени членов многочлена: $5y^3$ имеет степень $3$, $-4y^2$ имеет степень $2$, $10y$ (или $10y^1$) имеет степень $1$, и свободный член $-3$ (можно записать как $-3y^0$) имеет степень $0$. Располагая члены в порядке убывания степеней ($3, 2, 1, 0$), получаем стандартный вид многочлена.

Ответ: $5y^3 - 4y^2 + 10y - 3$

б) Рассмотрим многочлен $x^4 - 2x^5 - 5x^2 + x^3 - 4x - 1$. Переменная в данном случае — $x$. Определим степени каждого члена: член $-2x^5$ имеет наибольшую степень $5$; член $x^4$ имеет степень $4$; член $x^3$ имеет степень $3$; член $-5x^2$ имеет степень $2$; член $-4x$ (или $-4x^1$) имеет степень $1$; и свободный член $-1$ (или $-1x^0$) имеет степень $0$. Запишем члены многочлена в порядке убывания их степеней ($5, 4, 3, 2, 1, 0$).

Ответ: $-2x^5 + x^4 + x^3 - 5x^2 - 4x - 1$

в) Дан многочлен $6 - 9x^3 + x$. Переменная — $x$. Найдем степени его членов: член $-9x^3$ имеет наивысшую степень $3$; член $x$ (или $1x^1$) имеет степень $1$; свободный член $6$ (или $6x^0$) имеет степень $0$. Расположим члены по убыванию степеней ($3, 1, 0$).

Ответ: $-9x^3 + x + 6$

г) Дан многочлен $-2k^7 - 5k^9 - 8k^5$. Переменная — $k$. Определим степени его членов: член $-5k^9$ имеет самую высокую степень $9$; член $-2k^7$ имеет степень $7$; член $-8k^5$ имеет степень $5$. Расположим члены многочлена в порядке убывания их степеней ($9, 7, 5$).

Ответ: $-5k^9 - 2k^7 - 8k^5$