Страница 80 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

173. Найдите сумму двучленов.

Двучлен $a - b$ $b - a$ $a + b$

$a - b$ $2a - 2b$

$b - a$

$a + b$

Какие двучлены противоположны?

Ответ: ........................

Найдите сумму двучленов.

Для заполнения таблицы необходимо вычислить сумму двучленов для каждой ячейки. Сумма находится сложением двучлена из заголовка соответствующей строки и двучлена из заголовка столбца.

Расчеты для первой строки (двучлен $a-b$):
Сумма с $a-b$: $(a - b) + (a - b) = a - b + a - b = 2a - 2b$.
Сумма с $b-a$: $(a - b) + (b - a) = a - b + b - a = 0$.
Сумма с $a+b$: $(a - b) + (a + b) = a - b + a + b = 2a$.

Расчеты для второй строки (двучлен $b-a$):
Сумма с $a-b$: $(b - a) + (a - b) = b - a + a - b = 0$.
Сумма с $b-a$: $(b - a) + (b - a) = b - a + b - a = 2b - 2a$.
Сумма с $a+b$: $(b - a) + (a + b) = b - a + a + b = 2b$.

Расчеты для третьей строки (двучлен $a+b$):
Сумма с $a-b$: $(a + b) + (a - b) = a + b + a - b = 2a$.
Сумма с $b-a$: $(a + b) + (b - a) = a + b + b - a = 2b$.
Сумма с $a+b$: $(a + b) + (a + b) = a + b + a + b = 2a + 2b$.

Ответ: Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Какие двучлены противоположны?

Противоположными называются выражения, сумма которых равна нулю. Из вычислений, проведенных для заполнения таблицы, видно, что сумма двучленов $(a - b)$ и $(b - a)$ равна нулю.

Проверим: $(a - b) + (b - a) = a - b + b - a = 0$.

Это означает, что данные двучлены являются противоположными. Также это следует из того, что $b - a = -(a - b)$.

Ответ: $a - b$ и $b - a$.

174. Подчеркните многочлены, противоположные данному.

а) $a - b$:

$a + b$

$b - a$

$-a + b$

$-a - b$

б) $x^2 - 3x + 1$:

$-x^2 - 3x - 1$

$-x^2 + 3x + 1$

$-x^2 + 3x - 1$

$x^2 + 3x - 1$

Противоположными называются многочлены, сумма которых равна нулю. Чтобы найти многочлен, противоположный данному, необходимо у каждого его члена изменить знак на противоположный.

Дан многочлен $a - b$.

Чтобы найти противоположный ему многочлен, нужно умножить его на $-1$:

$ -(a - b) = -a - (-b) = -a + b $

Используя переместительный закон сложения, выражение $-a + b$ можно записать как $b - a$.

Теперь проанализируем предложенные варианты:

• $a + b$ — не является противоположным.
• $-a + b$ — является противоположным.
• $b - a$ — является противоположным, так как это эквивалентная запись выражения $-a + b$.
• $-a - b$ — не является противоположным.

Следовательно, многочлены, противоположные данному, это $-a + b$ и $b - a$.

Ответ: $b - a$, $-a + b$.

Дан многочлен $x^2 - 3x + 1$.

Чтобы найти противоположный ему многочлен, изменим знак каждого его члена на противоположный:

$ -(x^2 - 3x + 1) = -x^2 - (-3x) - (+1) = -x^2 + 3x - 1 $

Теперь проанализируем предложенные варианты:

• $-x^2 - 3x - 1$ — не является противоположным (знак при $3x$ неверный).
• $-x^2 + 3x + 1$ — не является противоположным (знак при $1$ неверный).
• $-x^2 + 3x - 1$ — является противоположным.
• $x^2 + 3x - 1$ — не является противоположным (знак при $x^2$ неверный).

Следовательно, многочлен, противоположный данному, это $-x^2 + 3x - 1$.

Ответ: $-x^2 + 3x - 1$.

Представьте многочлен в виде суммы двух каких-либо двучленов. Раскрыв скобки, проверьте себя (175—176).

175. а) $x + y + a - b = (x + a) + (..................)$

б) $m - n - k + p = ......................$

в) $y^3 - 2y^2 - y - 1 = ......................$

г) $-ab - b^2 - a^2 - ba = ......................$

а)

Дан многочлен $x + y + a - b$. Требуется представить его в виде суммы, где первый двучлен равен $(x + a)$.

Из исходного многочлена мы уже использовали члены $x$ и $a$. Остаются члены $y$ и $-b$. Из них мы можем составить второй двучлен: $(y - b)$.

Таким образом, представление многочлена в виде суммы двух двучленов будет: $(x + a) + (y - b)$.

Проверка: Раскроем скобки в полученном выражении.
$(x + a) + (y - b) = x + a + y - b$.
Переставив слагаемые, получаем исходный многочлен: $x + y + a - b$.

Ответ: $(x + a) + (y - b)$.

б)

Дан многочлен $m - n - k + p$. Его нужно представить в виде суммы двух двучленов. Это можно сделать несколькими способами, сгруппировав члены по-разному.

Способ 1: Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
$(m - n) + (-k + p)$.
Это можно записать как $(m - n) + (p - k)$.

Проверка: Раскроем скобки.
$(m - n) + (p - k) = m - n + p - k$.
Это выражение равно исходному многочлену.

Ответ: $(m - n) + (p - k)$.

в)

Дан многочлен $y^3 - 2y^2 - y - 1$. Представим его в виде суммы двух двучленов.

Сгруппируем первые два члена вместе и последние два члена вместе.
Первый двучлен: $(y^3 - 2y^2)$.
Второй двучлен: $(-y - 1)$.
Сумма двучленов: $(y^3 - 2y^2) + (-y - 1)$.

Проверка: Раскроем скобки.
$(y^3 - 2y^2) + (-y - 1) = y^3 - 2y^2 - y - 1$.
Полученное выражение совпадает с исходным многочленом.

Ответ: $(y^3 - 2y^2) + (-y - 1)$.

г)

Дан многочлен $-ab - b^2 - a^2 - ba$.

Сгруппируем члены по два. Например, сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым.
Первый двучлен: $(-ab - b^2)$.
Второй двучлен: $(-a^2 - ba)$.
Сумма двучленов: $(-ab - b^2) + (-a^2 - ba)$.

Проверка: Раскроем скобки.
$(-ab - b^2) + (-a^2 - ba) = -ab - b^2 - a^2 - ba$.
Полученное выражение совпадает с исходным. Заметим, что $ab = ba$, поэтому это выражение можно упростить до $-a^2 - 2ab - b^2$.

Ответ: $(-ab - b^2) + (-a^2 - ba)$.

176. а) $x^2 - x = (x^2 - .....) + (..... - x) = ...............$

б) $a + 1 = (........) + (........) = ...............$

в) $x + y = ...............$

г) $a^2 - b^2 = ...............$

а) Данное задание демонстрирует метод разложения на множители путем добавления и вычитания одинакового слагаемого. Цель — получить выражения, которые можно сгруппировать и вынести общий множитель.

Исходное выражение: $x^2 - x$.

Чтобы заполнить пропуски в выражении $(x^2 - \text{....}) + (\text{....} - x)$, нужно найти такое число или выражение, которое при вычитании из $x^2$ и прибавлении к $-x$ (или наоборот) поможет в дальнейшем разложении. Удобно использовать 1, так как $x^2 - 1$ — это разность квадратов.

Добавим и вычтем 1: $x^2 - x = x^2 - 1 + 1 - x$.

Теперь сгруппируем слагаемые согласно шаблону: $(x^2 - 1) + (1 - x)$.

Далее, разложим полученные группы на множители. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для первой скобки: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Во второй скобке вынесем минус: $1 - x = -(x-1)$.

Выражение принимает вид: $(x-1)(x+1) - (x-1)$.

Теперь можно вынести общий множитель $(x-1)$:

$(x-1) \cdot ((x+1) - 1) = (x-1) \cdot (x) = x(x-1)$.

Ответ: $x^2 - x = (x^2 - 1) + (1 - x) = x(x-1)$.

б) В этом задании требуется представить бином $a+1$ в виде суммы двух слагаемых в скобках. В отличие от предыдущего примера, здесь нет очевидного способа для нетривиального разложения на множители.

Самый простой способ выполнить задание — это разделить бином на его составляющие одночлены: $a$ и $1$.

Таким образом, мы можем записать: $(a) + (1)$.

Результат сложения этих слагаемых равен исходному выражению: $a+1$.

Ответ: $a + 1 = (a) + (1) = a+1$.

в) Выражение $x+y$ представляет собой сумму двух различных переменных. Такой многочлен называется простым (или неприводимым), так как его нельзя разложить на множители с целыми или рациональными коэффициентами. Он уже находится в своей простейшей форме.

Ответ: $x + y = x+y$.

г) Выражение $a^2 - b^2$ — это формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов".

Согласно этой формуле, разность квадратов двух выражений равна произведению их разности на их сумму.

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Ответ: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.