Страница 73 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

157. Сколько диагоналей у пятиугольника?

Число вершин ................

Число диагоналей из одной вершины

................

Всего диагоналей ................

Число вершин

Пятиугольник — это многоугольник, у которого 5 вершин. Это следует из самого названия фигуры ("пять углов").
Ответ: 5

Число диагоналей из одной вершины

Диагональ соединяет две несоседние вершины. Возьмем одну любую вершину пятиугольника. Из этой вершины нельзя провести диагональ к ней самой, а также к двум соседним с ней вершинам (линии, соединяющие соседние вершины, являются сторонами многоугольника). Таким образом, из 5 вершин мы исключаем 3 (саму вершину и две соседние).
Число диагоналей, которые можно провести из одной вершины, равно $5 - 3 = 2$.
На рисунке в задании это наглядно показано: из одной вершины проведены две диагонали, обозначенные цифрами 1 и 2.
Ответ: 2

Всего диагоналей

Поскольку у пятиугольника 5 вершин, и из каждой можно провести по 2 диагонали, можно было бы предположить, что всего диагоналей $5 \times 2 = 10$. Однако при таком способе подсчета каждая диагональ учитывается дважды. Например, диагональ, соединяющая вершину A и вершину C, — это та же самая диагональ, что соединяет вершину C и вершину A. Поэтому, чтобы найти истинное число диагоналей, полученный результат необходимо разделить на 2.
Общее число диагоналей равно $\frac{5 \times 2}{2} = 5$.
Можно также применить общую формулу для нахождения числа диагоналей $D$ в многоугольнике с $n$ вершинами: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.
Для пятиугольника $n=5$, поэтому $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5$.
Ответ: 5

158. Красный, синий, зеленый, желтый, белый и черный кубики выстраивают в ряд.

Сколько существует вариантов для выбора первого кубика? ................. Второго кубика? .....................

Первую пару кубиков можно составить ............... способами. Третий кубик можно выбрать ............... способами. Первую тройку кубиков можно составить ............... способами. Четвертый кубик можно выбрать ............... способами, пятый — ............... способами, шестой — ............... способами. Значит, всего можно составить ............... различных рядов.

Сколько среди них рядов, в которых:

а) на первом месте стоит черный кубик; .................

б) на первом месте стоит красный кубик, а на втором — бе- лый; .....................

в) на первом месте стоит не белый кубик; .................

г) последний кубик — не желтый; .................

д) рядом стоят синий и зеленый кубики? .................

В этой задаче рассматриваются перестановки из 6 различных элементов (кубиков). Общее количество способов расположить 6 различных кубиков в ряд равно числу перестановок из 6 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=6$.

Заполним пропуски в первой части задачи:

Для выбора первого кубика существует 6 вариантов (любой из шести кубиков).

После выбора первого кубика остается 5. Для выбора второго кубика существует 5 вариантов.

Первую пару кубиков можно составить $6 \times 5 = 30$ способами.

Третий кубик можно выбрать из оставшихся 4, то есть 4 способами. Первую тройку кубиков можно составить $6 \times 5 \times 4 = 120$ способами.

Четвертый кубик можно выбрать 3 способами, пятый — 2 способами, шестой — 1 способом.

Значит, всего можно составить $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 6! = 720$ различных рядов.

Теперь решим вторую часть задачи.

а) на первом месте стоит черный кубик;
Если первое место занято черным кубиком (1 способ), то оставшиеся 5 кубиков нужно расставить по 5 оставшимся местам. Число способов сделать это равно числу перестановок из 5 элементов: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Ответ: 120.

б) на первом месте стоит красный кубик, а на втором — белый;
Если первое место занято красным кубиком (1 способ), а второе — белым (1 способ), то нам остается расставить 4 оставшихся кубика на 4 свободных местах. Число способов сделать это равно числу перестановок из 4 элементов: $P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Ответ: 24.

в) на первом месте стоит не белый кубик;
Есть два способа решения:
1. На первое место можно поставить любой из 5 кубиков, кроме белого. Для каждого из этих 5 вариантов оставшиеся 5 кубиков (включая белый) можно расположить на 5 местах $5!$ способами. Итого: $5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$.
2. Из общего числа рядов (720) вычесть те, в которых на первом месте стоит белый кубик. Число таких рядов, как мы выяснили в пункте (а), равно $5! = 120$. Итого: $720 - 120 = 600$.
Ответ: 600.

г) последний кубик — не желтый;
Задача аналогична предыдущей. На последнее место можно поставить любой из 5 кубиков, кроме желтого. Оставшиеся 5 кубиков можно расставить на первых 5 местах $5!$ способами. Общее число таких рядов: $5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$.
Либо из общего числа рядов (720) вычитаем те, где желтый кубик стоит на последнем месте ($5! = 120$). Итого: $720 - 120 = 600$.
Ответ: 600.

д) рядом стоят синий и зеленый кубики?
Будем рассматривать синий и зеленый кубики как один цельный блок. Внутри этого блока кубики могут располагаться двумя способами: "синий-зеленый" или "зеленый-синий" ($2! = 2$ способа).
Теперь нам нужно расположить 5 "объектов": этот блок и 4 оставшихся кубика (красный, желтый, белый, черный). Число перестановок для 5 объектов равно $5! = 120$.
Общее число рядов, где синий и зеленый кубики стоят рядом, равно произведению числа расположений объектов на число перестановок внутри блока: $2 \times 5! = 2 \times 120 = 240$.
Ответ: 240.

159. 1) Квадрат разбили на 9 квадратов. Сколькими способами их можно раскрасить в синий, зеленый и черный цвета так, чтобы в каждом горизонтальном ряду и каждом вертикальном ряду были все три цвета?

Решение. Будем окрашивать квадраты начиная с левого верхнего. Понятно, что сделать это можно 3 способами. Второй квадрат этого ряда можно окрасить ....... способами, а тре- тий квадрат ------ ....... . Итак, верхний ряд квадратов можно окрасить ....... способами.

А сколько существует способов окрашивания второго ряда? Первый квадрат второго ряда можно окрасить ....... способами. На рисунке изображен один из таких вариантов раскраски. Закончите раскрашивание, рассмотрев все варианты.

3 2 1

Ответ: существует ....... вариантов раскраски данного квадрата.

ч с з

с

2) Попробуйте решить эту задачу при условии, что квадрат разбивается на 16 квадратов и окрашивается в 4 цвета.

1)

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов раскрасить квадрат 3x3 тремя цветами (например, синим, зеленым и черным) так, чтобы в каждой строке и каждом столбце все цвета были различны. Это эквивалентно подсчету числа латинских квадратов порядка 3.

Следуем предложенному в задаче плану решения:

Шаг 1: Раскраска первой строки.
Будем окрашивать квадраты, начиная с верхнего ряда.

• Первый квадрат (верхний левый) можно окрасить одним из 3-х цветов. Для него есть 3 способа.
• Второй квадрат в этой строке должен отличаться по цвету от первого, поэтому для него остается 2 способа.
• Третий квадрат должен отличаться от первых двух, которые уже имеют разные цвета, поэтому для него остается только 1 способ.

Таким образом, количество способов раскрасить первую строку равно произведению вариантов для каждого квадрата: $3 \times 2 \times 1 = 3! = 6$ способов. Заполняя пропуски в тексте задачи: "Второй квадрат этого ряда можно окрасить 2 способами, а третий квадрат — 1 способом. Итак, верхний ряд квадратов можно окрасить 6 способами."

Шаг 2: Раскраска второй и третьей строк.
Зафиксируем одну из 6 возможных раскрасок первой строки. Для определенности, пусть это будут цвета {С, З, Ч} (синий, зеленый, черный). Первая строка: (С, З, Ч).
Теперь рассмотрим вторую строку.

• Первый квадрат второй строки (клетка под "С") не может быть синим. Значит, для него есть 2 варианта: зеленый (З) или черный (Ч). Это ответ на вопрос: "Первый квадрат второго ряда можно окрасить 2 способами."

Рассмотрим эти два варианта:
Случай А: Первый квадрат второй строки — зеленый (З). Вся строка должна быть перестановкой цветов {С,З,Ч}. Она начинается с (З, ...).
Второй квадрат второй строки (под "З") не может быть зеленым. Он может быть синим (С) или черным (Ч).

• Если он синий (С), то вторая строка (З, С, ?). Третий цвет должен быть Ч. Получаем строку (З, С, Ч). Но третья клетка (под "Ч") не может быть черной. Этот вариант невозможен.
• Значит, второй квадрат должен быть черным (Ч). Вторая строка (З, Ч, ?). Третий цвет — С. Получаем строку (З, Ч, С). Это допустимый вариант.

Случай Б: Первый квадрат второй строки — черный (Ч). Аналогично рассуждая, единственно возможный вариант для второй строки — (Ч, С, З).
Итак, для каждой фиксированной первой строки существует ровно 2 способа раскрасить вторую строку. Как только первая и вторая строки раскрашены, третья строка определяется однозначно, так как в каждом столбце должны присутствовать все три цвета.
Например, для первой строки (С, З, Ч) и второй (З, Ч, С), третья строка однозначно будет (Ч, С, З).

Шаг 3: Общее количество способов.
Общее количество способов раскраски равно произведению числа способов раскрасить первую строку на число способов раскрасить остальные строки для каждой раскраски первой строки.
Всего способов = (способы для 1-й строки) $\times$ (способы для 2-й и 3-й строк) = $6 \times 2 = 12$.

Ответ: существует 12 вариантов раскраски данного квадрата.

2)

Требуется найти количество способов раскрасить квадрат 4x4 четырьмя цветами так, чтобы в каждой строке и каждом столбце присутствовали все четыре цвета. Эта задача эквивалентна подсчету числа латинских квадратов порядка 4.

Для упрощения подсчета сначала найдем количество так называемых приведенных латинских квадратов. В приведенном квадрате первая строка и первый столбец упорядочены (например, содержат цвета в порядке 1, 2, 3, 4). Затем общее число квадратов можно будет найти по формуле: $N_n = n! \times (n-1)! \times L_n$, где $n$ — размер квадрата ($n=4$), а $L_n$ — число приведенных квадратов порядка $n$.

1. Поиск числа приведенных квадратов $L_4$.
Приведенный квадрат 4x4 имеет вид (цвета обозначены цифрами 1, 2, 3, 4):
1 2 3 4
2 a b c
3 d e f
4 g h i

Рассмотрим клетку (2,2). Она не может быть равна 2 (т.к. 2 есть в этой строке и в этом столбце). Значит, она может быть 1, 3 или 4. Разберем все три случая.

Случай 1: Клетка (2,2) = 1.
Во второй строке (2, 1, ?, ?) не хватает 3 и 4. Клетка (2,3) не может быть 3 (по столбцу), значит она равна 4. Тогда (2,4) равна 3. Вторая строка: (2, 1, 4, 3).
Рассмотрим столбец 2. В нем есть 1 и 2. Клетка (3,2) не может быть 3 (по строке), значит (3,2)=4. Тогда (4,2)=3.
Рассмотрим строку 3: (3, 4, ?, ?). Не хватает 1 и 2. Клетка (3,3) может быть 1 или 2.

• Если (3,3)=1, то (3,4)=2. Строка 3: (3,4,1,2). Четвертая строка определяется однозначно: (4,3,2,1). Это дает один приведенный квадрат.
• Если (3,3)=2, то (3,4)=1. Строка 3: (3,4,2,1). Четвертая строка определяется однозначно: (4,3,1,2). Это дает второй приведенный квадрат.

Таким образом, этот случай дает 2 приведенных квадрата.

Случай 2: Клетка (2,2) = 3.
Во второй строке (2, 3, ?, ?) не хватает 1 и 4. Клетка (2,4) не может быть 4, значит она 1. Тогда (2,3) = 4. Вторая строка: (2, 3, 4, 1).
В столбце 2 есть {2,3}. В клетках (3,2) и (4,2) должны быть {1,4}. Клетка (4,1) равна 4, значит (4,2) не может быть 4. Следовательно, (4,2)=1 и (3,2)=4.
Строка 3: (3, 4, ?, ?). Не хватает 1 и 2. Клетка (3,4) не может быть 1 (по столбцу), значит (3,4)=2, а (3,3)=1. Строка 3: (3, 4, 1, 2).
Последняя строка определяется однозначно: (4, 1, 2, 3).
Этот случай дает 1 приведенный квадрат.

Случай 3: Клетка (2,2) = 4.
Аналогичными рассуждениями получаем, что вторая строка должна быть (2, 4, 1, 3). Затем, клетка (3,2) должна быть 1, а (4,2) — 3. Это приводит к третьей строке (3, 1, 4, 2) и четвертой (4, 3, 2, 1).
Этот случай также дает 1 приведенный квадрат.

Всего получаем $L_4 = 2 + 1 + 1 = 4$ приведенных квадрата.

2. Расчет общего числа квадратов.
Подставляем $L_4=4$ в формулу для $n=4$:
$N_4 = 4! \times (4-1)! \times L_4 = 4! \times 3! \times 4$
$N_4 = (24) \times (6) \times 4 = 144 \times 4 = 576$.

Ответ: существует 576 способов раскрасить квадрат 4x4 в 4 цвета с соблюдением заданных условий.