Страница 69 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

141. Запишите в виде степени с основанием 3.

$9 \cdot 3^3 \cdot 27 = ...$

$\frac{3 \cdot 3^2 \cdot 3^5}{81} = ...$

$\frac{3^3 \cdot 9 \cdot 81}{3^2 \cdot 3^5} = ...$

$9 \cdot 3^3 \cdot 27$

Чтобы представить выражение в виде степени с основанием 3, необходимо каждый множитель записать как степень числа 3.

1. Запишем число 9 как степень с основанием 3: $9 = 3^2$.

2. Запишем число 27 как степень с основанием 3: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$9 \cdot 3^3 \cdot 27 = 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^3$

4. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^3 = 3^{2+3+3} = 3^8$

Ответ: $3^8$

$\frac{3 \cdot 3^2 \cdot 3^5}{81}$

Сначала упростим числитель и знаменатель, представив их в виде степеней с основанием 3.

1. Упростим числитель. Учитывая, что $3$ это $3^1$, применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$3 \cdot 3^2 \cdot 3^5 = 3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^5 = 3^{1+2+5} = 3^8$

2. Представим знаменатель в виде степени с основанием 3:

$81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$

3. Подставим упрощенные значения в дробь:

$\frac{3^8}{3^4}$

4. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно свойству степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^8}{3^4} = 3^{8-4} = 3^4$

Ответ: $3^4$

$\frac{3^3 \cdot 9 \cdot 81}{3^2 \cdot 3^5}$

Для решения представим все множители в числителе и знаменателе в виде степеней с основанием 3, а затем упростим выражение.

1. Упростим числитель. Представим числа 9 и 81 в виде степеней с основанием 3:

$9 = 3^2$

$81 = 3^4$

Теперь числитель выглядит так: $3^3 \cdot 3^2 \cdot 3^4$. Сложим показатели степеней:

$3^{3+2+4} = 3^9$

2. Упростим знаменатель, сложив показатели степеней:

$3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5} = 3^7$

3. Теперь все выражение имеет вид дроби:

$\frac{3^9}{3^7}$

4. Применим свойство деления степеней, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя:

$\frac{3^9}{3^7} = 3^{9-7} = 3^2$

Ответ: $3^2$

142. Выполните действия.

а) $3a^2b \cdot 2ab^2 = \dots$

б) $ab^2 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot \frac{1}{2}ab = \dots$

в) $(a^3b^5) : (a^2b^3) = \dots$

г) $\frac{25a^6b^5}{5ab^3} = \dots$

а) Чтобы перемножить одночлены $3a^2b$ и $2ab^2$, нужно выполнить следующие действия:
1. Перемножить числовые коэффициенты: $3 \cdot 2 = 6$.
2. Перемножить степени с основанием $a$, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $a^2 \cdot a^1 = a^{2+1} = a^3$.
3. Перемножить степени с основанием $b$: $b^1 \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$.
Объединив результаты, получаем: $3a^2b \cdot 2ab^2 = 6a^3b^3$.
Ответ: $6a^3b^3$

б) Чтобы выполнить умножение $ab^2 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot \frac{1}{2}ab$, сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
1. Числовой коэффициент в данном выражении один: $\frac{1}{2}$.
2. Перемножим степени с основанием $a$: $a \cdot a^2 \cdot a = a^{1+2+1} = a^4$.
3. Перемножим степени с основанием $b$: $b^2 \cdot b^3 \cdot b = b^{2+3+1} = b^6$.
Соединяем все части вместе: $\frac{1}{2}a^4b^6$.
Ответ: $\frac{1}{2}a^4b^6$

в) Чтобы выполнить деление $(a^3b^5) : (a^2b^3)$, нужно разделить степени с одинаковыми основаниями, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
1. Разделим степени с основанием $a$: $a^3 : a^2 = a^{3-2} = a^1 = a$.
2. Разделим степени с основанием $b$: $b^5 : b^3 = b^{5-3} = b^2$.
Результат деления: $ab^2$.
Ответ: $ab^2$

г) Чтобы упростить выражение $\frac{25a^6b^5}{5ab^3}$, нужно разделить числитель на знаменатель.
1. Разделим числовые коэффициенты: $25 : 5 = 5$.
2. Разделим степени с основанием $a$: $\frac{a^6}{a} = a^{6-1} = a^5$.
3. Разделим степени с основанием $b$: $\frac{b^5}{b^3} = b^{5-3} = b^2$.
Объединяем результаты: $5a^5b^2$.
Ответ: $5a^5b^2$

143. Сравните значение выражения с нулем.

а) $-5 \cdot (-5)^3 \cdot (-5)^5 = (-5)^9 < 0$

$-(-3)^9 \cdot (-3)^6 = \dots$

$(-2)^7 - (-2)^4 \cdot (-2)^3 = \dots$

б) $(-6)^{18} : (-6)^3 = \dots$

$5 + (-5)^9 : (-5)^8 = \dots$

$\frac{4^7}{(-4)^4} = \dots$

а)

Для выражения $-5 \cdot (-5)^3 \cdot (-5)^5$ представим первый множитель $-5$ как $(-5)^1$. Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:
$(-5)^1 \cdot (-5)^3 \cdot (-5)^5 = (-5)^{1+3+5} = (-5)^9$.
Так как основание степени $(-5)$ отрицательное, а показатель степени $9$ — нечетный, то значение выражения будет отрицательным.
Ответ: $-5 \cdot (-5)^3 \cdot (-5)^5 < 0$.

Для выражения $-(-3)^9 \cdot (-3)^6$ сначала определим знаки множителей.
1. Выражение $(-3)^9$ отрицательно, так как отрицательное основание возводится в нечетную степень. Соответственно, $-(-3)^9$ является положительным числом, равным $3^9$.
2. Выражение $(-3)^6$ положительно, так как отрицательное основание возводится в четную степень, $(-3)^6 = 3^6$.
Произведение двух положительных чисел ($3^9$ и $3^6$) есть число положительное.
$-(-3)^9 \cdot (-3)^6 = 3^9 \cdot 3^6 = 3^{9+6} = 3^{15}$.
Ответ: $-(-3)^9 \cdot (-3)^6 > 0$.

Для выражения $(-2)^7 - (-2)^4 \cdot (-2)^3$ сначала выполним умножение степеней с одинаковым основанием:
$(-2)^4 \cdot (-2)^3 = (-2)^{4+3} = (-2)^7$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(-2)^7 - (-2)^7 = 0$.
Значение выражения равно нулю.
Ответ: $(-2)^7 - (-2)^4 \cdot (-2)^3 = 0$.

б)

Для выражения $(-6)^{18} : (-6)^3$ используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$(-6)^{18} : (-6)^3 = (-6)^{18-3} = (-6)^{15}$.
Так как основание степени $(-6)$ отрицательное, а показатель степени $15$ — нечетный, то значение выражения будет отрицательным.
Ответ: $(-6)^{18} : (-6)^3 < 0$.

Для выражения $5 + (-5)^9 : (-5)^8$ сначала выполним деление степеней:
$(-5)^9 : (-5)^8 = (-5)^{9-8} = (-5)^1 = -5$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$5 + (-5) = 5 - 5 = 0$.
Значение выражения равно нулю.
Ответ: $5 + (-5)^9 : (-5)^8 = 0$.

Для выражения $\frac{4^7}{(-4)^4}$ сначала упростим знаменатель.
Так как отрицательное основание $(-4)$ возводится в четную степень $4$, результат будет положительным:
$(-4)^4 = 4^4$.
Теперь выражение принимает вид $\frac{4^7}{4^4}$. Используя свойство деления степеней, получаем:
$\frac{4^7}{4^4} = 4^{7-4} = 4^3$.
Так как $4^3 = 64$, значение выражения является положительным.
Ответ: $\frac{4^7}{(-4)^4} > 0$.

144. Возведите в степень.

$(a^5)^5$ = ..............., $(b^{10})^n$ = ..............., $(a^k)^3$ =

Для решения этих задач используется свойство возведения степени в степень. Оно гласит, что при возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели степеней перемножаются. Общая формула этого свойства выглядит так:

$(x^m)^n = x^{m \cdot n}$

Применим это правило к каждому из выражений.

$(a^5)^5$

В данном выражении основание $a$ возводится в степень $5$, и результат снова возводится в степень $5$.

Согласно правилу, мы должны перемножить показатели степеней $5$ и $5$, оставив основание $a$ прежним.

$(a^5)^5 = a^{5 \cdot 5} = a^{25}$

Ответ: $a^{25}$

$(b^{10})^n$

Здесь основание равно $b$, первый показатель степени равен $10$, а второй — $n$.

Перемножаем показатели $10$ и $n$:

$(b^{10})^n = b^{10 \cdot n} = b^{10n}$

Ответ: $b^{10n}$

$(a^k)^3$

В этом выражении основание — $a$, первый показатель степени — $k$, а второй — $3$.

Умножаем показатели степеней $k$ и $3$:

$(a^k)^3 = a^{k \cdot 3} = a^{3k}$

Ответ: $a^{3k}$

145. Представьте $b^{100}$ в виде степени разными способами.

$b^{100} = (b^{10})\dots$

$b^{100} = (\dots)^{2}$

$b^{100} = (b^{20})\dots$

$b^{100} = (\dots)^{25}$

Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать свойство возведения степени в степень: при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются. Формула выглядит так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Мы должны представить $b^{100}$ в виде степени, где показатель 100 является произведением двух чисел. В каждом подпункте нам дан один из множителей.

$b^{100} = (b^{10})^{...}$
Нам нужно найти такой показатель степени $n$, чтобы выполнялось равенство $(b^{10})^n = b^{100}$.
Используя свойство степеней, мы получаем уравнение для показателей: $10 \cdot n = 100$.
Решаем уравнение: $n = 100 / 10 = 10$.
Таким образом, пропущенный показатель степени равен 10.
Ответ: $b^{100} = (b^{10})^{10}$

$b^{100} = (b^{20})^{...}$
Аналогично предыдущему пункту, ищем такой показатель $n$, чтобы $(b^{20})^n = b^{100}$.
Составляем уравнение для показателей: $20 \cdot n = 100$.
Находим $n$: $n = 100 / 20 = 5$.
Пропущенный показатель степени — это 5.
Ответ: $b^{100} = (b^{20})^5$

$b^{100} = (............)^2$
Здесь нам нужно найти основание степени, которое обозначим как $b^m$. Равенство примет вид $(b^m)^2 = b^{100}$.
Уравнение для показателей будет: $m \cdot 2 = 100$.
Решаем уравнение: $m = 100 / 2 = 50$.
Следовательно, в скобках должно стоять выражение $b^{50}$.
Ответ: $b^{100} = (b^{50})^2$

$b^{100} = (............)^{25}$
Снова ищем основание $b^m$ для равенства $(b^m)^{25} = b^{100}$.
Составляем и решаем уравнение для показателей: $m \cdot 25 = 100$.
$m = 100 / 25 = 4$.
Значит, пропущенное выражение в скобках — это $b^4$.
Ответ: $b^{100} = (b^4)^{25}$