Страница 62 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

124. На координатной плоскости отмечены точки, принадлежащие графикам зависимостей $y = x^2$ и $y = x^3$. Постройте эти графики.

Для того чтобы построить графики, сначала определим, какие из отмеченных точек принадлежат функции $y = x^2$, а какие — функции $y = x^3$. Для этого мы будем подставлять координату $x$ каждой точки в формулы функций и сравнивать результат с координатой $y$.

На координатной плоскости отмечены следующие точки с координатами:

• $(-3, 9)$
• $(-2, 4)$
• $(-2, -8)$
• $(-1, 1)$
• $(0, 0)$
• $(1, 1)$
• $(2, 4)$
• $(2, 8)$
• $(3, 9)$

Проверим, какие из данных точек удовлетворяют уравнению $y = x^2$:

• Для точки $(-3, 9)$: $y = (-3)^2 = 9$. Точка принадлежит графику.
• Для точки $(-2, 4)$: $y = (-2)^2 = 4$. Точка принадлежит графику.
• Для точки $(-1, 1)$: $y = (-1)^2 = 1$. Точка принадлежит графику.
• Для точки $(0, 0)$: $y = 0^2 = 0$. Точка принадлежит графику.
• Для точки $(1, 1)$: $y = 1^2 = 1$. Точка принадлежит графику.
• Для точки $(2, 4)$: $y = 2^2 = 4$. Точка принадлежит графику.
• Для точки $(3, 9)$: $y = 3^2 = 9$. Точка принадлежит графику.

Таким образом, точки $(-3, 9)$, $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$ и $(3, 9)$ принадлежат графику функции $y = x^2$. Этот график является параболой с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Чтобы построить график, необходимо плавно соединить эти точки.

Ответ: График функции $y = x^2$ (парабола) строится путем плавного соединения точек $(-3, 9)$, $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$ и $(3, 9)$.

Теперь проверим, какие точки удовлетворяют уравнению $y = x^3$. Будем использовать оставшиеся точки и те, что лежат на пересечении графиков.

• Для точки $(-2, -8)$: $y = (-2)^3 = -8$. Точка принадлежит графику.
• Для точки $(2, 8)$: $y = 2^3 = 8$. Точка принадлежит графику.
• Точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$ также принадлежат этому графику, так как $0^3 = 0$ и $1^3 = 1$. Эти точки являются точками пересечения двух графиков.

Итак, точки $(-2, -8)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(2, 8)$ принадлежат графику функции $y = x^3$. Этот график является кубической параболой, симметричной относительно начала координат. Для построения графика нужно плавно соединить эти точки, учитывая, что кривая также проходит через точку $(-1, -1)$, так как $(-1)^3 = -1$.

Ответ: График функции $y = x^3$ (кубическая парабола) строится путем плавного соединения отмеченных точек $(-2, -8)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(2, 8)$.

125. Обведите ту часть параболы $y = x^2$, которая удовлетворяет условию:

а) $-2 \le x \le 2$

б) $x \ge 0$

а)

Задана парабола $y = x^2$ и условие $-2 \le x \le 2$. Это означает, что нужно выделить ту часть графика, для которой абсциссы (координаты $x$) находятся в промежутке от $-2$ до $2$ включительно. Найдем значения функции $y$ на границах этого промежутка:

• При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Получаем точку $(-2, 4)$.
• При $x = 2$, $y = (2)^2 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.

Вершина параболы, точка $(0, 0)$, также принадлежит этому промежутку, поскольку $x=0$ удовлетворяет условию $-2 \le 0 \le 2$. Таким образом, искомая часть графика — это дуга параболы, которая начинается в точке $(-2, 4)$, проходит через вершину $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(2, 4)$.

Ответ: Необходимо обвести дугу параболы с концами в точках $(-2, 4)$ и $(2, 4)$, проходящую через вершину параболы $(0, 0)$.

б)

Задана парабола $y = x^2$ и условие $x \ge 0$. Это означает, что нужно выделить ту часть графика, для которой абсциссы (координаты $x$) являются неотрицательными (больше или равны нулю). Эта часть графика соответствует правой ветви параболы, включая ее вершину. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, где $x = 0$ и $y = 0^2 = 0$. Эта точка удовлетворяет условию $x \ge 0$ и является начальной точкой искомой части графика. Для всех значений $x$ больших нуля (например, $x=1, x=2, x=3, \dots$), соответствующие точки параболы ($(1,1), (2,4), (3,9), \dots$) также принадлежат этой части. Таким образом, искомая часть графика — это правая ветвь параболы, начинающаяся в вершине $(0, 0)$ и уходящая бесконечно вправо и вверх.

Ответ: Необходимо обвести правую ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0, 0)$ и идущую вправо и вверх.