Страница 67 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

132. Запишите в виде степени произведение степеней.

a) $a^3 \cdot a^7 = a^{10}$

б) $b \cdot b^4 \cdot b^8 = ......$

$(-y)^5 \cdot (-y) = ......$

$c^6 \cdot c^3 \cdot c = ......$

$(5x)^6 \cdot (5x)^3 = ......$

$(-3a) \cdot (-3a)^3 \cdot (-3a)^5 = ......$

Для решения данной задачи используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Математически это правило выглядит так: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Также следует помнить, что любое выражение, у которого показатель степени не указан, имеет степень 1, например, $a = a^1$.

а)
$a^3 \cdot a^7 = a^{3+7} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

$(-y)^5 \cdot (-y) = (-y)^5 \cdot (-y)^1 = (-y)^{5+1} = (-y)^6$.
Ответ: $(-y)^6$.

$(5x)^6 \cdot (5x)^3 = (5x)^{6+3} = (5x)^9$.
Ответ: $(5x)^9$.

б)
$b \cdot b^4 \cdot b^8 = b^1 \cdot b^4 \cdot b^8 = b^{1+4+8} = b^{13}$.
Ответ: $b^{13}$.

$c^6 \cdot c^3 \cdot c = c^6 \cdot c^3 \cdot c^1 = c^{6+3+1} = c^{10}$.
Ответ: $c^{10}$.

$(-3a) \cdot (-3a)^3 \cdot (-3a)^5 = (-3a)^1 \cdot (-3a)^3 \cdot (-3a)^5 = (-3a)^{1+3+5} = (-3a)^9$.
Ответ: $(-3a)^9$.

133. Представьте степень в виде произведения степеней разными способами.

$a^6 = a \cdot a^5 = a^2 \cdot a^4 = a^3 \cdot a^3$

$n^8 = \dots$

$x^{10} = \dots$

$y^{11} = \dots$

$n^8$

Чтобы представить степень в виде произведения степеней, воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и его обобщением для большего числа множителей, например, $a^{m+n+p} = a^m \cdot a^n \cdot a^p$. Для этого представим показатель степени 8 в виде суммы натуральных чисел разными способами. Это можно сделать как с двумя, так и с большим количеством слагаемых.
Например:
$8 = 1 + 7$
$8 = 2 + 6$
$8 = 4 + 4$
$8 = 1 + 3 + 4$
Каждое такое разложение дает нам способ представить $n^8$ в виде произведения.
Ответ: $n^8 = n \cdot n^7 = n^2 \cdot n^6 = n^4 \cdot n^4 = n \cdot n^3 \cdot n^4$.

$x^{10}$

Аналогично, представим показатель 10 в виде суммы натуральных чисел. Например:
$10 = 1 + 9$
$10 = 3 + 7$
$10 = 5 + 5$
$10 = 2 + 3 + 5$
Соответственно, $x^{10}$ можно представить в виде следующих произведений.
Ответ: $x^{10} = x \cdot x^9 = x^3 \cdot x^7 = x^5 \cdot x^5 = x^2 \cdot x^3 \cdot x^5$.

$y^{11}$

Представим показатель 11 в виде суммы натуральных чисел. Например:
$11 = 1 + 10$
$11 = 2 + 9$
$11 = 5 + 6$
$11 = 3 + 3 + 5$
Следовательно, для $y^{11}$ получаем следующие представления.
Ответ: $y^{11} = y \cdot y^{10} = y^2 \cdot y^9 = y^5 \cdot y^6 = y^3 \cdot y^3 \cdot y^5$.

134. Заполните пропуски.

$2^9 = 2^3 \cdot 2^{\ldots}$

$10^{10} = 10^2 \cdot 10^{\ldots}$

$7^8 = 7^5 \cdot \ldots$

$4^{12} = 4^6 \cdot \ldots$

$2^9 = 2^3 \cdot 2^{\dots}$

Для решения этого примера используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Чтобы равенство $2^9 = 2^3 \cdot 2^x$ было верным, сумма показателей степеней в правой части должна быть равна показателю степени в левой части: $3 + x = 9$. Отсюда находим неизвестный показатель $x$: $x = 9 - 3 = 6$. Следовательно, на месте пропуска должно стоять $2^6$.
Ответ: $2^6$.

$10^{10} = 10^2 \cdot 10^{\dots}$

Аналогично применяется свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Для равенства $10^{10} = 10^2 \cdot 10^x$ должно выполняться условие для показателей: $2 + x = 10$. Находим $x$: $x = 10 - 2 = 8$. Таким образом, в пропуске должно быть $10^8$.
Ответ: $10^8$.

$7^8 = 7^5 \cdot \dots$

Используем то же свойство степеней. В равенстве $7^8 = 7^5 \cdot 7^x$ показатели степеней связаны соотношением $5 + x = 8$. Из этого уравнения находим $x$: $x = 8 - 5 = 3$. Значит, пропущенный множитель — это $7^3$.
Ответ: $7^3$.

$4^{12} = 4^6 \cdot \dots$

Применяем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ к равенству $4^{12} = 4^6 \cdot 4^x$. Для показателей степеней получаем уравнение: $6 + x = 12$. Решая его, находим $x$: $x = 12 - 6 = 6$. Следовательно, на месте пропуска должно стоять $4^6$.
Ответ: $4^6$.

135. Впишите пропущенную степень с основанием а.

$a^4 \cdot \ldots = a^7$, $\ldots \cdot a = a^{10}$, $a^2 \cdot \ldots \cdot a^5 = a^{11}$.

Для решения этих задач используется основное свойство степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Формула этого свойства выглядит так: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Пусть пропущенная степень будет $a^x$. Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $a^4 \cdot a^x = a^7$.

Используя свойство умножения степеней, мы складываем их показатели: $a^{4+x} = a^7$.

Так как основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, то для верности равенства должны быть равны и их показатели: $4 + x = 7$.

Решаем полученное линейное уравнение, чтобы найти $x$: $x = 7 - 4$ $x = 3$.

Следовательно, пропущенная степень — это $a^3$.

Ответ: $a^3$

Пусть неизвестная степень равна $a^x$. Любое число или переменная без указания степени считается находящимся в первой степени, то есть $a = a^1$. Тогда уравнение примет вид: $a^x \cdot a^1 = a^{10}$.

Применяем свойство умножения степеней, складывая показатели: $a^{x+1} = a^{10}$.

Приравниваем показатели степеней: $x + 1 = 10$.

Находим значение $x$: $x = 10 - 1$ $x = 9$.

Таким образом, на месте пропуска должна быть степень $a^9$.

Ответ: $a^9$

В данном уравнении три множителя. Свойство умножения степеней применяется ко всем ним. Обозначим пропущенную степень как $a^x$. Получаем: $a^2 \cdot a^x \cdot a^5 = a^{11}$.

Складываем все показатели степеней в левой части уравнения: $a^{2+x+5} = a^{11}$.

Упрощаем выражение в показателе: $a^{7+x} = a^{11}$.

Теперь приравниваем показатели степеней: $7 + x = 11$.

Находим $x$: $x = 11 - 7$ $x = 4$.

Значит, пропущенная степень — это $a^4$.

Ответ: $a^4$