Страница 68 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

136. Запишите в виде степени частное степеней.

а) $a^{10} : a^5 = a^5$

б) $(2x)^{15} : (2x)^6 = \ldots$

в) $(abc)^6 : (abc)^4 = \ldots$

г) $\frac{b^8}{b^7} = \ldots$

д) $\frac{(3xy)^{12}}{(3xy)^4} = \ldots$

а) Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это правило записывается формулой $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном примере основание — это $a$, показатель делимого — 10, а показатель делителя — 5.
$a^{10} : a^5 = a^{10-5} = a^5$.
Ответ: $a^5$.

б) В этом выражении основанием степени является $(2x)$. Применяем то же свойство частного степеней: основание $(2x)$ оставляем прежним, а показатели вычитаем.
$(2x)^{15} : (2x)^6 = (2x)^{15-6} = (2x)^9$.
Ответ: $(2x)^9$.

в) Здесь основание степени — $(abc)$. Показатель степени делимого равен 6, а делителя — 4. Выполняем вычитание показателей.
$(abc)^6 : (abc)^4 = (abc)^{6-4} = (abc)^2$.
Ответ: $(abc)^2$.

г) Дробная черта является знаком деления. Следовательно, выражение можно рассматривать как деление степеней с одинаковым основанием $b$. Применяем правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{b^8}{b^7} = b^{8-7} = b^1 = b$.
Ответ: $b$.

д) В данном случае основание степени — это выражение $(3xy)$. Показатель степени числителя (делимого) равен 12, а знаменателя (делителя) — 4. Вычитаем показатели, оставляя основание без изменений.
$\frac{(3xy)^{12}}{(3xy)^4} = (3xy)^{12-4} = (3xy)^8$.
Ответ: $(3xy)^8$.

137. Заполните пропуски.

$3^{10} : 3^5 = 3^{\ldots}$

$5^{10} : 5^2 = \ldots$

$2^7 = 2^9 : 2^{\ldots}$

$10^{10} = \ldots : 10^5$

$3^{10} : 3^5 = 3^{...}$

Для решения этого примера используется свойство деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^m : a^n = a^{m-n}$. При делении степени вычитаются.

В данном случае основание $a = 3$, а показатели степеней $m = 10$ и $n = 5$.

Выполним вычитание показателей: $10 - 5 = 5$.

Следовательно, результат будет $3^5$. В пропуск нужно вписать показатель степени 5.

Ответ: 5

$5^{10} : 5^2 = ...$

Здесь мы также применяем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Основание степени $a = 5$, показатели степеней равны $m = 10$ и $n = 2$.

Найдем показатель степени результата, вычитая из показателя делимого показатель делителя: $10 - 2 = 8$.

Таким образом, итоговое выражение равно $5^8$.

Ответ: $5^8$

$2^7 = 2^9 : 2^{...}$

Пусть неизвестный показатель степени в делителе равен $x$. Тогда уравнение можно записать как $2^7 = 2^9 : 2^x$.

Согласно правилу деления степеней с одинаковым основанием, правая часть уравнения равна $2^{9-x}$.

Получаем равенство: $2^7 = 2^{9-x}$.

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны (равны 2), мы можем приравнять их показатели: $7 = 9 - x$.

Теперь решим это простое уравнение относительно $x$: $x = 9 - 7$, откуда $x = 2$.

В пропуск нужно вписать число 2.

Ответ: 2

$10^{10} = ... : 10^5$

В этом уравнении неизвестным является делимое. Обозначим его через $y$. Уравнение выглядит так: $10^{10} = y : 10^5$.

Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель: $y = 10^{10} \cdot 10^5$.

Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При умножении показатели степеней складываются.

В нашем случае $a = 10$, $m = 10$, $n = 5$.

Складываем показатели: $10 + 5 = 15$.

Следовательно, искомое число равно $10^{15}$.

Ответ: $10^{15}$

138. Впишите пропущенную степень с основанием а.

$a^8 : \ldots = a^4$, $\ldots : a^3 = a^9$, $\frac{a^7}{\ldots} = a$.

$a^8 : ...... = a^4$,

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное. В данном случае, нам нужно найти степень $a^x$, такую что $a^8 : a^x = a^4$.
Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Исходя из этого правила, показатель степени частного равен разности показателей степеней делимого и делителя.

$8 - x = 4$
$x = 8 - 4$
$x = 4$

Следовательно, пропущенная степень — это $a^4$. Проверим: $a^8 : a^4 = a^{8-4} = a^4$.

Ответ: $a^4$

$...... : a^3 = a^9$,

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель. Пусть пропущенная степень будет $a^x$. Тогда уравнение примет вид: $a^x : a^3 = a^9$.
Используя правило деления степеней ($a^m : a^n = a^{m-n}$), мы можем записать:

$a^{x-3} = a^9$
Поскольку основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

$x - 3 = 9$
$x = 9 + 3$
$x = 12$

Таким образом, пропущенная степень — это $a^{12}$. Проверим: $a^{12} : a^3 = a^{12-3} = a^9$.

Ответ: $a^{12}$

$\frac{a^7}{......} = a$.

Данное уравнение записано в виде дроби, что эквивалентно делению. Следует помнить, что $a$ можно записать как $a^1$. Пусть пропущенная степень в знаменателе будет $a^x$. Тогда уравнение выглядит так:

$\frac{a^7}{a^x} = a^1$

Применяя свойство частного степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), получаем:

$a^{7-x} = a^1$
Приравниваем показатели степеней:

$7 - x = 1$
$x = 7 - 1$
$x = 6$

Значит, пропущенная степень — это $a^6$. Проверим: $\frac{a^7}{a^6} = a^{7-6} = a^1 = a$.

Ответ: $a^6$

139. Вычислите, используя значения данных степеней.

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$4^2 = 16$

$4^3 = 64$

$5^2 = 25$

$5^3 = 125$

$6^2 = 36$

$6^3 = 216$

а) $3^8 = 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^3 = 9 \cdot 27 \cdot 27 = \ldots$

б) $4^{11} = \ldots$

в) $5^{10} = \ldots$

г) $6^7 = \ldots$

а) Для вычисления $3^8$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$). Представим показатель 8 как сумму показателей 2 и 3, значения для которых даны в условии: $8 = 2 + 3 + 3$.
Таким образом, $3^8 = 3^{2+3+3} = 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^3$.
Подставим известные значения $3^2=9$ и $3^3=27$, как указано в примере:
$9 \cdot 27 \cdot 27$.
Выполним вычисления:
$27 \cdot 27 = 729$.
$9 \cdot 729 = 6561$.
Ответ: 6561.

б) Чтобы вычислить $4^{11}$, представим показатель степени 11 как сумму чисел 2 и 3, значения для которых нам известны. Один из возможных вариантов: $11 = 3 + 3 + 3 + 2$.
Тогда, используя свойство степеней, получаем: $4^{11} = 4^3 \cdot 4^3 \cdot 4^3 \cdot 4^2$.
Подставим известные значения $4^3=64$ и $4^2=16$:
$64 \cdot 64 \cdot 64 \cdot 16$.
Выполним вычисления по шагам:
$64 \cdot 64 = 4096$.
$4096 \cdot 64 = 262144$.
$262144 \cdot 16 = 4194304$.
Ответ: 4194304.

в) Для вычисления $5^{10}$, представим показатель 10 как сумму чисел 2 и 3. Например, $10 = 3 + 3 + 2 + 2$.
Следовательно, $5^{10} = 5^3 \cdot 5^3 \cdot 5^2 \cdot 5^2$.
Подставим известные значения $5^3=125$ и $5^2=25$:
$125 \cdot 125 \cdot 25 \cdot 25$.
Выполним вычисления:
$125 \cdot 125 = 15625$.
$25 \cdot 25 = 625$.
$15625 \cdot 625 = 9765625$.
Ответ: 9765625.

г) Для вычисления $6^7$, представим показатель 7 как сумму чисел 2 и 3: $7 = 2 + 2 + 3$.
Тогда $6^7 = 6^2 \cdot 6^2 \cdot 6^3$.
Подставим известные значения $6^2=36$ и $6^3=216$:
$36 \cdot 36 \cdot 216$.
Выполним вычисления:
$36 \cdot 36 = 1296$.
$1296 \cdot 216 = 279936$.
Ответ: 279936.

140. Запишите в виде степени с основанием 2.

$2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 2^3 = 2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 2^9$

$2^2 \cdot 2^3 \cdot 4 \cdot 16 = \dots$

$8 \cdot 32 \cdot 2^6 = \dots$

$\frac{2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 16}{2^3 \cdot 2^2} = \dots$

$2^2 \cdot 2^3 \cdot 4 \cdot 16$

Чтобы представить выражение в виде степени с основанием 2, необходимо каждый множитель записать как степень числа 2. Нам известно, что $4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$2^2 \cdot 2^3 \cdot 4 \cdot 16 = 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^4$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^4 = 2^{2+3+2+4} = 2^{11}$

Ответ: $2^{11}$

$8 \cdot 32 \cdot 2^6$

Представим каждый множитель в виде степени с основанием 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $32 = 2^5$.

Заменим числа в выражении на их степени с основанием 2:

$8 \cdot 32 \cdot 2^6 = 2^3 \cdot 2^5 \cdot 2^6$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), сложим показатели степеней:

$2^3 \cdot 2^5 \cdot 2^6 = 2^{3+5+6} = 2^{14}$

Ответ: $2^{14}$

$\frac{2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 16}{2^3 \cdot 2^2}$

Сначала преобразуем числитель и знаменатель дроби, представив все множители в виде степеней с основанием 2.

Преобразуем числитель: $2 = 2^1$, $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$.

$2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 16 = 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4 = 2^{1+2+3+4} = 2^{10}$

Теперь преобразуем знаменатель, используя правило сложения показателей при умножении степеней с одинаковым основанием:

$2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5$

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{2^{10}}{2^5}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{2^{10}}{2^5} = 2^{10-5} = 2^5$

Ответ: $2^5$