Страница 70 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

146. Запишите в виде степени с основанием 3.

$9^3 = (3^2)^3 = 3^{\cdots}$

$3 \cdot 81^2 = \cdots = 3^{\cdots}$

$27^4 = \cdots = 3^{\cdots}$

$27 \cdot 9^4 = \cdots = 3^{\cdots}$

$9^3 = (3^2)^3 = 3^{...}$

Чтобы записать выражение $9^3$ в виде степени с основанием 3, необходимо сначала представить число 9 как степень числа 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$9^3 = (3^2)^3$
Далее воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В этом случае показатели степеней перемножаются.
$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$
Ответ: $3^6$.

$3 \cdot 81^2 = ... = 3^{...}$

Чтобы записать данное выражение в виде степени с основанием 3, представим каждый множитель в виде степени числа 3.
Число 3 — это $3^1$.
Число 81 можно представить как $3^4$, поскольку $81 = 9 \cdot 9 = (3^2) \cdot (3^2) = 3^{2+2} = 3^4$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$3 \cdot 81^2 = 3^1 \cdot (3^4)^2$
Сначала упростим $(3^4)^2$, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$
Теперь выражение имеет вид: $3^1 \cdot 3^8$.
Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, согласно которому показатели степеней складываются:
$3^1 \cdot 3^8 = 3^{1+8} = 3^9$
Ответ: $3^9$.

$27^4 = ... = 3^{...}$

Чтобы представить выражение $27^4$ в виде степени с основанием 3, сначала запишем число 27 как степень тройки.
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
Подставим это значение в исходное выражение:
$27^4 = (3^3)^4$
Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^3)^4 = 3^{3 \cdot 4} = 3^{12}$
Ответ: $3^{12}$.

$27 \cdot 9^4 = ... = 3^{...}$

Чтобы записать выражение $27 \cdot 9^4$ в виде степени с основанием 3, представим каждый множитель как степень числа 3.
Число 27 это $3^3$.
Число 9 это $3^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$27 \cdot 9^4 = 3^3 \cdot (3^2)^4$
Упростим $(3^2)^4$, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$
Теперь выражение выглядит так: $3^3 \cdot 3^8$.
Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^3 \cdot 3^8 = 3^{3+8} = 3^{11}$
Ответ: $3^{11}$.

147. Возведите в степень произведение.

$(a^2b)^3 = \dots$, $(x^3y^5)^5 = \dots$, $(5bc^{10})^2 = \dots$

$(a^2b)^3$
Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель внутри скобок возвести в эту степень. Это соответствует правилу $(xy)^n = x^n y^n$.
Применим это правило к выражению:
$(a^2b)^3 = (a^2)^3 \cdot b^3$
Далее, чтобы возвести степень в степень, нужно перемножить показатели степеней, согласно правилу $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$
Множитель $b$ можно представить как $b^1$, поэтому $b^3$ остается без изменений.
Соединив результаты, получаем: $a^6b^3$.
Ответ: $a^6b^3$

$(x^3y^5)^5$
Аналогично первому примеру, возводим каждый множитель в степень 5:
$(x^3y^5)^5 = (x^3)^5 \cdot (y^5)^5$
Теперь для каждого множителя применяем правило возведения степени в степень, перемножая показатели:
$(x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$
$(y^5)^5 = y^{5 \cdot 5} = y^{25}$
Объединяем результаты: $x^{15}y^{25}$.
Ответ: $x^{15}y^{25}$

$(5bc^{10})^2$
В данном выражении три множителя: число $5$, переменная $b$ и переменная $c^{10}$. Возводим каждый из них во вторую степень:
$(5bc^{10})^2 = 5^2 \cdot b^2 \cdot (c^{10})^2$
Вычисляем значение для каждого множителя:
$5^2 = 25$
$b^2$ остается как есть.
$(c^{10})^2 = c^{10 \cdot 2} = c^{20}$
Собираем все части вместе: $25b^2c^{20}$.
Ответ: $25b^2c^{20}$

148. Возведите в степень дробь.

$(\frac{a^3}{b^2})^4$ = ......., $(\frac{3}{x^5})^3$ = ......., $(\frac{0,1x^2}{y^3})^4$ = .......

$(\frac{a^3}{b^2})^4$
Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Это соответствует правилу $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$.
Применим это правило к нашему выражению: $(\frac{a^3}{b^2})^4 = \frac{(a^3)^4}{(b^2)^4}$.
Далее воспользуемся свойством степени: при возведении степени в степень их показатели перемножаются, то есть $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Возводим в степень числитель: $(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$.
Возводим в степень знаменатель: $(b^2)^4 = b^{2 \cdot 4} = b^8$.
Таким образом, получаем итоговый результат:
$\frac{a^{12}}{b^8}$.
Ответ: $\frac{a^{12}}{b^8}$

$(\frac{3}{x^5})^3$
Для возведения дроби в степень, возводим в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель. Правило: $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$.
$(\frac{3}{x^5})^3 = \frac{3^3}{(x^5)^3}$.
Вычислим значение числителя: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(x^5)^3 = x^{5 \cdot 3} = x^{15}$.
Объединим полученные части:
$\frac{27}{x^{15}}$.
Ответ: $\frac{27}{x^{15}}$

$(\frac{0,1x^2}{y^3})^4$
Применим правило возведения дроби в степень $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$:
$(\frac{0,1x^2}{y^3})^4 = \frac{(0,1x^2)^4}{(y^3)^4}$.
Теперь рассмотрим числитель и знаменатель по отдельности.
Для числителя используем правило возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$: $(0,1x^2)^4 = (0,1)^4 \cdot (x^2)^4$.
Вычислим $(0,1)^4 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,0001$.
Применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(x^2)^4 = x^{2 \cdot 4} = x^8$.
Значит, числитель равен $0,0001x^8$.
Для знаменателя применим то же правило возведения степени в степень: $(y^3)^4 = y^{3 \cdot 4} = y^{12}$.
Собираем итоговую дробь:
$\frac{0,0001x^8}{y^{12}}$.
Ответ: $\frac{0,0001x^8}{y^{12}}$

149. Упростите выражение.

а) $(-2x^3)^2 = (-2)^2 \cdot (x^3)^2 = \ldots$

б) $(-3a^2)^3 = \ldots$

в) $\left(\frac{1}{2}ab^4\right)^2 = \ldots$

г) $(-x^3)^3 = (-1 \cdot x^3)^3 = \ldots$

д) $(-x)^3 = \ldots$

е) $(-x^5)^4 = \ldots$

а) Чтобы упростить выражение $(-2x^3)^2$, воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.

Сначала возведем в квадрат каждый множитель в скобках, как показано в условии:

$(-2x^3)^2 = (-2)^2 \cdot (x^3)^2$

Вычисляем $(-2)^2$:

$(-2)^2 = 4$

Теперь упрощаем $(x^3)^2$, умножая показатели степени:

$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$

Собираем все вместе:

$4 \cdot x^6 = 4x^6$

Ответ: $4x^6$

б) Упростим выражение $(-3a^2)^3$. Используем те же свойства, что и в предыдущем пункте.

Возводим в куб каждый множитель:

$(-3a^2)^3 = (-3)^3 \cdot (a^2)^3$

Вычисляем $(-3)^3$. Так как степень нечетная, знак минус сохраняется:

$(-3)^3 = -27$

Упрощаем $(a^2)^3$, перемножая показатели:

$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$

Объединяем результаты:

$-27 \cdot a^6 = -27a^6$

Ответ: $-27a^6$

в) Упростим выражение $(\frac{1}{2}ab^4)^2$.

Возводим в квадрат каждый множитель в скобках:

$(\frac{1}{2}ab^4)^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot a^2 \cdot (b^4)^2$

Вычисляем $(\frac{1}{2})^2$:

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

Упрощаем $(b^4)^2$:

$(b^4)^2 = b^{4 \cdot 2} = b^8$

Собираем все вместе:

$\frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot b^8 = \frac{1}{4}a^2b^8$

Ответ: $\frac{1}{4}a^2b^8$

г) Упростим выражение $(-x^3)^3$.

Представим $-x^3$ как произведение $-1$ и $x^3$, как показано в условии:

$(-x^3)^3 = (-1 \cdot x^3)^3$

Возводим в куб каждый множитель:

$(-1)^3 \cdot (x^3)^3$

Вычисляем $(-1)^3$ (нечетная степень сохраняет знак):

$(-1)^3 = -1$

Упрощаем $(x^3)^3$:

$(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$

Объединяем результаты:

$-1 \cdot x^9 = -x^9$

Ответ: $-x^9$

д) Упростим выражение $(-x)^3$.

Представим $-x$ как $-1 \cdot x$:

$(-x)^3 = (-1 \cdot x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3$

Так как $(-1)^3 = -1$, получаем:

$-1 \cdot x^3 = -x^3$

Ответ: $-x^3$

е) Упростим выражение $(-x^5)^4$.

Представим $-x^5$ как $-1 \cdot x^5$:

$(-x^5)^4 = (-1 \cdot x^5)^4$

Возводим в четвертую степень каждый множитель:

$(-1)^4 \cdot (x^5)^4$

Вычисляем $(-1)^4$. Так как степень четная, результат будет положительным:

$(-1)^4 = 1$

Упрощаем $(x^5)^4$:

$(x^5)^4 = x^{5 \cdot 4} = x^{20}$

Объединяем результаты:

$1 \cdot x^{20} = x^{20}$

Ответ: $x^{20}$

150. Подчеркните выражения, равные $a^2$.

$(-a)^2$, $-(-a)^2$, $-(-a^2)$, $(-(-a)^2)^2$.

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений равны $a^2$, мы упростим каждое из них, следуя правилам порядка выполнения математических операций.

(-a)²
При возведении в квадрат отрицательного выражения $(-a)$ мы умножаем его само на себя. Произведение двух отрицательных чисел является положительным.
$(-a)^2 = (-a) \cdot (-a) = a^2$.
Таким образом, это выражение равно $a^2$.
Ответ: равно $a^2$.

-(-a)²
Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень, а затем унарный минус (отрицание).
1. Возводим в степень: $(-a)^2 = a^2$.
2. Применяем внешний знак минус к результату: $-(a^2) = -a^2$.
Это выражение равно $-a^2$ и, в общем случае, не равно $a^2$.
Ответ: не равно $a^2$.

-(-a²)
В этом выражении мы раскрываем скобки. Знак минус перед скобками меняет знак выражения внутри скобок на противоположный.
$-(-a^2) = a^2$.
Таким образом, это выражение равно $a^2$.
Ответ: равно $a^2$.

(-(-a)²)²
Упростим это сложное выражение по шагам, двигаясь изнутри наружу.
1. Сначала возводим в квадрат самое внутреннее выражение: $(-a)^2 = a^2$.
2. Затем применяем знак минус, который стоит перед этими скобками: $-(a^2) = -a^2$.
3. Наконец, возводим полученный результат в квадрат: $(-a^2)^2 = (-a^2) \cdot (-a^2) = a^4$.
Это выражение равно $a^4$ и, в общем случае, не равно $a^2$.
Ответ: не равно $a^2$.

Следовательно, выражения, равные $a^2$, это: $(-a)^2$ и $-(-a^2)$.

151. Подчеркните выражения, равные $c^3$.

$(-c)^3$, $-(-c)^3$, $-(-c^3)^3$, $(-(-c)^3)^3$.

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений равны $c^3$, необходимо упростить каждое из них, используя свойства степеней и правила работы со знаками.

$(-c)^3$

При возведении отрицательного основания в нечетную степень (в данном случае степень равна 3) результат будет отрицательным. Это можно записать следующим образом:

$(-c)^3 = (-1 \cdot c)^3 = (-1)^3 \cdot c^3 = -1 \cdot c^3 = -c^3$

Выражение $-c^3$ не равно $c^3$.

Ответ: не равно $c^3$.

$-(-c)^3$

Сначала упростим выражение в скобках. Как и в предыдущем пункте, $(-c)^3 = -c^3$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$-(-c)^3 = -(-c^3)$

Два минуса, стоящие подряд, дают плюс:

$-(-c^3) = c^3$

Выражение равно $c^3$.

Ответ: равно $c^3$.

$-(-c^3)^3$

Упростим выражение в скобках, возведя его в куб. Основание степени здесь $-c^3$. Так как степень 3 нечетная, минус сохраняется:

$(-c^3)^3 = -(c^3)^3$

По свойству степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$-(c^3)^3 = -c^{3 \cdot 3} = -c^9$

Теперь учтем минус, который стоял перед скобками в исходном выражении:

$-(-c^9) = c^9$

Выражение $c^9$ в общем случае не равно $c^3$.

Ответ: не равно $c^3$.

$(-(-c)^3)^3$

Упростим это выражение поэтапно, двигаясь изнутри наружу.

1. Возводим в куб выражение в самых внутренних скобках: $(-c)^3 = -c^3$.

2. Учитываем знак минус перед скобками: $-(-c^3) = c^3$.

3. Теперь возводим полученный результат в куб:

$(c^3)^3$

Используя свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(c^3)^3 = c^{3 \cdot 3} = c^9$

Выражение $c^9$ в общем случае не равно $c^3$.

Ответ: не равно $c^3$.

Проанализировав все выражения, мы пришли к выводу, что только одно из них равно $c^3$.

Ответ: $(-c)^3$, $-(-c)^3$, $-(-c^3)^3$, $(-(-c)^3)^3$.