Номер 149, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 149, страница 70.

Условие.

149. Упростите выражение.

а) $(-2x^3)^2 = (-2)^2 \cdot (x^3)^2 = \ldots$

б) $(-3a^2)^3 = \ldots$

в) $\left(\frac{1}{2}ab^4\right)^2 = \ldots$

г) $(-x^3)^3 = (-1 \cdot x^3)^3 = \ldots$

д) $(-x)^3 = \ldots$

е) $(-x^5)^4 = \ldots$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы упростить выражение $(-2x^3)^2$, воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.

Сначала возведем в квадрат каждый множитель в скобках, как показано в условии:

$(-2x^3)^2 = (-2)^2 \cdot (x^3)^2$

Вычисляем $(-2)^2$:

$(-2)^2 = 4$

Теперь упрощаем $(x^3)^2$, умножая показатели степени:

$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$

Собираем все вместе:

$4 \cdot x^6 = 4x^6$

Ответ: $4x^6$

б) Упростим выражение $(-3a^2)^3$. Используем те же свойства, что и в предыдущем пункте.

Возводим в куб каждый множитель:

$(-3a^2)^3 = (-3)^3 \cdot (a^2)^3$

Вычисляем $(-3)^3$. Так как степень нечетная, знак минус сохраняется:

$(-3)^3 = -27$

Упрощаем $(a^2)^3$, перемножая показатели:

$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$

Объединяем результаты:

$-27 \cdot a^6 = -27a^6$

Ответ: $-27a^6$

в) Упростим выражение $(\frac{1}{2}ab^4)^2$.

Возводим в квадрат каждый множитель в скобках:

$(\frac{1}{2}ab^4)^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot a^2 \cdot (b^4)^2$

Вычисляем $(\frac{1}{2})^2$:

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

Упрощаем $(b^4)^2$:

$(b^4)^2 = b^{4 \cdot 2} = b^8$

Собираем все вместе:

$\frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot b^8 = \frac{1}{4}a^2b^8$

Ответ: $\frac{1}{4}a^2b^8$

г) Упростим выражение $(-x^3)^3$.

Представим $-x^3$ как произведение $-1$ и $x^3$, как показано в условии:

$(-x^3)^3 = (-1 \cdot x^3)^3$

Возводим в куб каждый множитель:

$(-1)^3 \cdot (x^3)^3$

Вычисляем $(-1)^3$ (нечетная степень сохраняет знак):

$(-1)^3 = -1$

Упрощаем $(x^3)^3$:

$(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$

Объединяем результаты:

$-1 \cdot x^9 = -x^9$

Ответ: $-x^9$

д) Упростим выражение $(-x)^3$.

Представим $-x$ как $-1 \cdot x$:

$(-x)^3 = (-1 \cdot x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3$

Так как $(-1)^3 = -1$, получаем:

$-1 \cdot x^3 = -x^3$

Ответ: $-x^3$

е) Упростим выражение $(-x^5)^4$.

Представим $-x^5$ как $-1 \cdot x^5$:

$(-x^5)^4 = (-1 \cdot x^5)^4$

Возводим в четвертую степень каждый множитель:

$(-1)^4 \cdot (x^5)^4$

Вычисляем $(-1)^4$. Так как степень четная, результат будет положительным:

$(-1)^4 = 1$

Упрощаем $(x^5)^4$:

$(x^5)^4 = x^{5 \cdot 4} = x^{20}$

Объединяем результаты:

$1 \cdot x^{20} = x^{20}$

Ответ: $x^{20}$