Номер 152, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 152, страница 71.

Условие.

152. Представьте выражение в виде квадрата или куба.

$a^{12} = (\ldots)^2$

$y^{12} = (\ldots)^3$

$a^2b^6 = (\ldots)^2$

$x^6c^3 = (\ldots)^3$

$16c^8 = (\ldots)^2$

$27a^{15} = (\ldots)^3$

$25x^4y^{10} = (\ldots)^2$

$64x^6y^{21} = (\ldots)^3$

Решение.

Решение 2.

$a^{12} = (......)^2$ Чтобы представить выражение $a^{12}$ в виде квадрата, нужно найти такой одночлен, который при возведении во вторую степень даст исходное выражение. Воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Мы ищем такое число $k$, чтобы $(a^k)^2 = a^{12}$. Это равносильно уравнению $a^{2k} = a^{12}$, из которого следует, что $2k = 12$. Решая уравнение, находим $k = 6$. Таким образом, искомый одночлен — это $a^6$.
Ответ: $a^{12} = (a^6)^2$.

$a^2b^6 = (......)^2$ Чтобы представить произведение в виде квадрата, воспользуемся свойством $(xy)^n = x^n y^n$. Нам нужно представить каждый множитель в виде квадрата:
$a^2 = (a^1)^2 = a^2$
$b^6 = (b^k)^2 \implies 2k=6 \implies k=3 \implies b^6 = (b^3)^2$
Следовательно, $a^2b^6 = (a)^2(b^3)^2 = (ab^3)^2$.
Ответ: $a^2b^6 = (ab^3)^2$.

$16c^8 = (......)^2$ Представим каждый множитель данного одночлена в виде квадрата. Числовой коэффициент $16$ является квадратом числа $4$, то есть $16 = 4^2$. Для переменной $c^8$ ищем такое $k$, что $(c^k)^2 = c^{2k} = c^8$. Отсюда $2k = 8$ и $k=4$. Таким образом, $c^8 = (c^4)^2$. Собирая все вместе, получаем: $16c^8 = 4^2 \cdot (c^4)^2 = (4c^4)^2$.
Ответ: $16c^8 = (4c^4)^2$.

$25x^4y^{10} = (......)^2$ Для представления выражения в виде квадрата представим каждый его множитель в виде квадрата:
$25 = 5^2$
$x^4 = (x^2)^2$, так как $2 \cdot 2 = 4$
$y^{10} = (y^5)^2$, так как $2 \cdot 5 = 10$
Используя свойство степени произведения, получаем: $25x^4y^{10} = 5^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^5)^2 = (5x^2y^5)^2$.
Ответ: $25x^4y^{10} = (5x^2y^5)^2$.

$y^{12} = (......)^3$ Чтобы представить выражение $y^{12}$ в виде куба, нужно найти такой одночлен, который при возведении в третью степень даст исходное выражение. Используя свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, ищем такое $k$, чтобы $(y^k)^3 = y^{12}$. Это приводит к уравнению $y^{3k} = y^{12}$, откуда $3k = 12$. Решая уравнение, находим $k = 4$. Искомый одночлен — это $y^4$.
Ответ: $y^{12} = (y^4)^3$.

$x^6c^3 = (......)^3$ Для представления произведения в виде куба, представим каждый множитель в виде куба:
$x^6 = (x^k)^3 \implies 3k=6 \implies k=2 \implies x^6 = (x^2)^3$
$c^3 = (c^1)^3 = c^3$
Следовательно, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$, получаем: $x^6c^3 = (x^2)^3 \cdot c^3 = (x^2c)^3$.
Ответ: $x^6c^3 = (x^2c)^3$.

$27a^{15} = (......)^3$ Представим каждый множитель данного одночлена в виде куба. Числовой коэффициент $27$ является кубом числа $3$, так как $3^3 = 27$. Для переменной $a^{15}$ ищем такое $k$, что $(a^k)^3 = a^{3k} = a^{15}$. Отсюда $3k = 15$ и $k=5$. Таким образом, $a^{15} = (a^5)^3$. Собирая все вместе, получаем: $27a^{15} = 3^3 \cdot (a^5)^3 = (3a^5)^3$.
Ответ: $27a^{15} = (3a^5)^3$.

$64x^6y^{21} = (......)^3$ Для представления выражения в виде куба представим каждый его множитель в виде куба:
$64 = 4^3$, так как $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
$x^6 = (x^2)^3$, так как $3 \cdot 2 = 6$
$y^{21} = (y^7)^3$, так как $3 \cdot 7 = 21$
Используя свойство степени произведения, получаем: $64x^6y^{21} = 4^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^7)^3 = (4x^2y^7)^3$.
Ответ: $64x^6y^{21} = (4x^2y^7)^3$.