Номер 158, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 158, страница 73.

Условие.

158. Красный, синий, зеленый, желтый, белый и черный кубики выстраивают в ряд.

Сколько существует вариантов для выбора первого кубика? ................. Второго кубика? .....................

Первую пару кубиков можно составить ............... способами. Третий кубик можно выбрать ............... способами. Первую тройку кубиков можно составить ............... способами. Четвертый кубик можно выбрать ............... способами, пятый — ............... способами, шестой — ............... способами. Значит, всего можно составить ............... различных рядов.

Сколько среди них рядов, в которых:

а) на первом месте стоит черный кубик; .................

б) на первом месте стоит красный кубик, а на втором — бе- лый; .....................

в) на первом месте стоит не белый кубик; .................

г) последний кубик — не желтый; .................

д) рядом стоят синий и зеленый кубики? .................

Решение.

Решение 2.

В этой задаче рассматриваются перестановки из 6 различных элементов (кубиков). Общее количество способов расположить 6 различных кубиков в ряд равно числу перестановок из 6 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=6$.

Заполним пропуски в первой части задачи:

Для выбора первого кубика существует 6 вариантов (любой из шести кубиков).

После выбора первого кубика остается 5. Для выбора второго кубика существует 5 вариантов.

Первую пару кубиков можно составить $6 \times 5 = 30$ способами.

Третий кубик можно выбрать из оставшихся 4, то есть 4 способами. Первую тройку кубиков можно составить $6 \times 5 \times 4 = 120$ способами.

Четвертый кубик можно выбрать 3 способами, пятый — 2 способами, шестой — 1 способом.

Значит, всего можно составить $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 6! = 720$ различных рядов.

Теперь решим вторую часть задачи.

а) на первом месте стоит черный кубик;
Если первое место занято черным кубиком (1 способ), то оставшиеся 5 кубиков нужно расставить по 5 оставшимся местам. Число способов сделать это равно числу перестановок из 5 элементов: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Ответ: 120.

б) на первом месте стоит красный кубик, а на втором — белый;
Если первое место занято красным кубиком (1 способ), а второе — белым (1 способ), то нам остается расставить 4 оставшихся кубика на 4 свободных местах. Число способов сделать это равно числу перестановок из 4 элементов: $P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Ответ: 24.

в) на первом месте стоит не белый кубик;
Есть два способа решения:
1. На первое место можно поставить любой из 5 кубиков, кроме белого. Для каждого из этих 5 вариантов оставшиеся 5 кубиков (включая белый) можно расположить на 5 местах $5!$ способами. Итого: $5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$.
2. Из общего числа рядов (720) вычесть те, в которых на первом месте стоит белый кубик. Число таких рядов, как мы выяснили в пункте (а), равно $5! = 120$. Итого: $720 - 120 = 600$.
Ответ: 600.

г) последний кубик — не желтый;
Задача аналогична предыдущей. На последнее место можно поставить любой из 5 кубиков, кроме желтого. Оставшиеся 5 кубиков можно расставить на первых 5 местах $5!$ способами. Общее число таких рядов: $5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$.
Либо из общего числа рядов (720) вычитаем те, где желтый кубик стоит на последнем месте ($5! = 120$). Итого: $720 - 120 = 600$.
Ответ: 600.

д) рядом стоят синий и зеленый кубики?
Будем рассматривать синий и зеленый кубики как один цельный блок. Внутри этого блока кубики могут располагаться двумя способами: "синий-зеленый" или "зеленый-синий" ($2! = 2$ способа).
Теперь нам нужно расположить 5 "объектов": этот блок и 4 оставшихся кубика (красный, желтый, белый, черный). Число перестановок для 5 объектов равно $5! = 120$.
Общее число рядов, где синий и зеленый кубики стоят рядом, равно произведению числа расположений объектов на число перестановок внутри блока: $2 \times 5! = 2 \times 120 = 240$.
Ответ: 240.