Номер 159, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 159, страница 73.

Условие.

159. 1) Квадрат разбили на 9 квадратов. Сколькими способами их можно раскрасить в синий, зеленый и черный цвета так, чтобы в каждом горизонтальном ряду и каждом вертикальном ряду были все три цвета?

Решение. Будем окрашивать квадраты начиная с левого верхнего. Понятно, что сделать это можно 3 способами. Второй квадрат этого ряда можно окрасить ....... способами, а тре- тий квадрат ------ ....... . Итак, верхний ряд квадратов можно окрасить ....... способами.

А сколько существует способов окрашивания второго ряда? Первый квадрат второго ряда можно окрасить ....... способами. На рисунке изображен один из таких вариантов раскраски. Закончите раскрашивание, рассмотрев все варианты.

3 2 1

Ответ: существует ....... вариантов раскраски данного квадрата.

ч с з

с

2) Попробуйте решить эту задачу при условии, что квадрат разбивается на 16 квадратов и окрашивается в 4 цвета.

Решение.

Решение 2.

1)

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов раскрасить квадрат 3x3 тремя цветами (например, синим, зеленым и черным) так, чтобы в каждой строке и каждом столбце все цвета были различны. Это эквивалентно подсчету числа латинских квадратов порядка 3.

Следуем предложенному в задаче плану решения:

Шаг 1: Раскраска первой строки.
Будем окрашивать квадраты, начиная с верхнего ряда.

• Первый квадрат (верхний левый) можно окрасить одним из 3-х цветов. Для него есть 3 способа.
• Второй квадрат в этой строке должен отличаться по цвету от первого, поэтому для него остается 2 способа.
• Третий квадрат должен отличаться от первых двух, которые уже имеют разные цвета, поэтому для него остается только 1 способ.

Таким образом, количество способов раскрасить первую строку равно произведению вариантов для каждого квадрата: $3 \times 2 \times 1 = 3! = 6$ способов. Заполняя пропуски в тексте задачи: "Второй квадрат этого ряда можно окрасить 2 способами, а третий квадрат — 1 способом. Итак, верхний ряд квадратов можно окрасить 6 способами."

Шаг 2: Раскраска второй и третьей строк.
Зафиксируем одну из 6 возможных раскрасок первой строки. Для определенности, пусть это будут цвета {С, З, Ч} (синий, зеленый, черный). Первая строка: (С, З, Ч).
Теперь рассмотрим вторую строку.

• Первый квадрат второй строки (клетка под "С") не может быть синим. Значит, для него есть 2 варианта: зеленый (З) или черный (Ч). Это ответ на вопрос: "Первый квадрат второго ряда можно окрасить 2 способами."

Рассмотрим эти два варианта:
Случай А: Первый квадрат второй строки — зеленый (З). Вся строка должна быть перестановкой цветов {С,З,Ч}. Она начинается с (З, ...).
Второй квадрат второй строки (под "З") не может быть зеленым. Он может быть синим (С) или черным (Ч).

• Если он синий (С), то вторая строка (З, С, ?). Третий цвет должен быть Ч. Получаем строку (З, С, Ч). Но третья клетка (под "Ч") не может быть черной. Этот вариант невозможен.
• Значит, второй квадрат должен быть черным (Ч). Вторая строка (З, Ч, ?). Третий цвет — С. Получаем строку (З, Ч, С). Это допустимый вариант.

Случай Б: Первый квадрат второй строки — черный (Ч). Аналогично рассуждая, единственно возможный вариант для второй строки — (Ч, С, З).
Итак, для каждой фиксированной первой строки существует ровно 2 способа раскрасить вторую строку. Как только первая и вторая строки раскрашены, третья строка определяется однозначно, так как в каждом столбце должны присутствовать все три цвета.
Например, для первой строки (С, З, Ч) и второй (З, Ч, С), третья строка однозначно будет (Ч, С, З).

Шаг 3: Общее количество способов.
Общее количество способов раскраски равно произведению числа способов раскрасить первую строку на число способов раскрасить остальные строки для каждой раскраски первой строки.
Всего способов = (способы для 1-й строки) $\times$ (способы для 2-й и 3-й строк) = $6 \times 2 = 12$.

Ответ: существует 12 вариантов раскраски данного квадрата.

2)

Требуется найти количество способов раскрасить квадрат 4x4 четырьмя цветами так, чтобы в каждой строке и каждом столбце присутствовали все четыре цвета. Эта задача эквивалентна подсчету числа латинских квадратов порядка 4.

Для упрощения подсчета сначала найдем количество так называемых приведенных латинских квадратов. В приведенном квадрате первая строка и первый столбец упорядочены (например, содержат цвета в порядке 1, 2, 3, 4). Затем общее число квадратов можно будет найти по формуле: $N_n = n! \times (n-1)! \times L_n$, где $n$ — размер квадрата ($n=4$), а $L_n$ — число приведенных квадратов порядка $n$.

1. Поиск числа приведенных квадратов $L_4$.
Приведенный квадрат 4x4 имеет вид (цвета обозначены цифрами 1, 2, 3, 4):
1 2 3 4
2 a b c
3 d e f
4 g h i

Рассмотрим клетку (2,2). Она не может быть равна 2 (т.к. 2 есть в этой строке и в этом столбце). Значит, она может быть 1, 3 или 4. Разберем все три случая.

Случай 1: Клетка (2,2) = 1.
Во второй строке (2, 1, ?, ?) не хватает 3 и 4. Клетка (2,3) не может быть 3 (по столбцу), значит она равна 4. Тогда (2,4) равна 3. Вторая строка: (2, 1, 4, 3).
Рассмотрим столбец 2. В нем есть 1 и 2. Клетка (3,2) не может быть 3 (по строке), значит (3,2)=4. Тогда (4,2)=3.
Рассмотрим строку 3: (3, 4, ?, ?). Не хватает 1 и 2. Клетка (3,3) может быть 1 или 2.

• Если (3,3)=1, то (3,4)=2. Строка 3: (3,4,1,2). Четвертая строка определяется однозначно: (4,3,2,1). Это дает один приведенный квадрат.
• Если (3,3)=2, то (3,4)=1. Строка 3: (3,4,2,1). Четвертая строка определяется однозначно: (4,3,1,2). Это дает второй приведенный квадрат.

Таким образом, этот случай дает 2 приведенных квадрата.

Случай 2: Клетка (2,2) = 3.
Во второй строке (2, 3, ?, ?) не хватает 1 и 4. Клетка (2,4) не может быть 4, значит она 1. Тогда (2,3) = 4. Вторая строка: (2, 3, 4, 1).
В столбце 2 есть {2,3}. В клетках (3,2) и (4,2) должны быть {1,4}. Клетка (4,1) равна 4, значит (4,2) не может быть 4. Следовательно, (4,2)=1 и (3,2)=4.
Строка 3: (3, 4, ?, ?). Не хватает 1 и 2. Клетка (3,4) не может быть 1 (по столбцу), значит (3,4)=2, а (3,3)=1. Строка 3: (3, 4, 1, 2).
Последняя строка определяется однозначно: (4, 1, 2, 3).
Этот случай дает 1 приведенный квадрат.

Случай 3: Клетка (2,2) = 4.
Аналогичными рассуждениями получаем, что вторая строка должна быть (2, 4, 1, 3). Затем, клетка (3,2) должна быть 1, а (4,2) — 3. Это приводит к третьей строке (3, 1, 4, 2) и четвертой (4, 3, 2, 1).
Этот случай также дает 1 приведенный квадрат.

Всего получаем $L_4 = 2 + 1 + 1 = 4$ приведенных квадрата.

2. Расчет общего числа квадратов.
Подставляем $L_4=4$ в формулу для $n=4$:
$N_4 = 4! \times (4-1)! \times L_4 = 4! \times 3! \times 4$
$N_4 = (24) \times (6) \times 4 = 144 \times 4 = 576$.

Ответ: существует 576 способов раскрасить квадрат 4x4 в 4 цвета с соблюдением заданных условий.