Номер 164, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

7. Многочлены - номер 164, страница 77.

Условие.

164. Представьте многочлен в стандартном виде.

а) $2a \cdot 3 + 3b \cdot 2a + a^2 \cdot 2b = \dots$

б) $5x \cdot 2a + 5x \cdot 3b - y \cdot 2a - y \cdot 3b = \dots$

в) $(-1) \cdot 6m + 8n \cdot (-4m) - m^2 \cdot 2m = \dots$

г) $10a^3 \cdot (-5) + 3b \cdot (-a^2) + 7ab \cdot 2ab = \dots$

Решение.

Решение 2.

а)

Для того чтобы представить многочлен в стандартном виде, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Привести каждый член многочлена (одночлен) к стандартному виду. Это означает, что нужно перемножить все числовые множители, а переменные записать в алфавитном порядке, сложив их показатели степеней.
2. Сложить подобные члены (члены с одинаковой буквенной частью).
3. Расположить полученные члены в порядке убывания их степеней.

Рассмотрим выражение: $2a \cdot 3 + 3b \cdot 2a + a^2 \cdot 2b$.

1. Упростим каждый член многочлена:

Первый член: $2a \cdot 3 = (2 \cdot 3)a = 6a$.

Второй член: $3b \cdot 2a = (3 \cdot 2)ab = 6ab$.

Третий член: $a^2 \cdot 2b = 2a^2b$.

2. Запишем многочлен с упрощенными членами: $6a + 6ab + 2a^2b$.

3. Подобных членов в данном многочлене нет, так как все они имеют разную буквенную часть ($a$, $ab$, $a^2b$).

4. Расположим члены многочлена в порядке убывания их степеней. Степень члена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Степень члена $2a^2b$ равна $2 + 1 = 3$.

Степень члена $6ab$ равна $1 + 1 = 2$.

Степень члена $6a$ равна $1$.

Таким образом, многочлен в стандартном виде записывается как $2a^2b + 6ab + 6a$.

Ответ: $2a^2b + 6ab + 6a$

б)

Рассмотрим выражение: $5x \cdot 2a + 5x \cdot 3b - y \cdot 2a - y \cdot 3b$.

1. Упростим каждый член многочлена, перемножая числовые коэффициенты и располагая переменные в алфавитном порядке:

$5x \cdot 2a = (5 \cdot 2)ax = 10ax$.

$5x \cdot 3b = (5 \cdot 3)bx = 15bx$.

$-y \cdot 2a = -2ay$.

$-y \cdot 3b = -3by$.

2. Запишем многочлен: $10ax + 15bx - 2ay - 3by$.

3. Подобных членов для сложения нет. Все члены имеют вторую степень. В таких случаях члены принято располагать в лексикографическом порядке их буквенных частей (сначала по первой букве, затем по второй и т.д.: $ax, ay, bx, by$).

Таким образом, многочлен в стандартном виде записывается как $10ax - 2ay + 15bx - 3by$.

Ответ: $10ax - 2ay + 15bx - 3by$

в)

Рассмотрим выражение: $(-1) \cdot 6m + 8n \cdot (-4m) - m^2 \cdot 2m$.

1. Упростим каждый член многочлена:

$(-1) \cdot 6m = -6m$.

$8n \cdot (-4m) = (8 \cdot (-4))mn = -32mn$.

$-m^2 \cdot 2m = -2(m^2 \cdot m^1) = -2m^{2+1} = -2m^3$.

2. Запишем многочлен с упрощенными членами: $-6m - 32mn - 2m^3$.

3. Подобных членов нет.

4. Расположим члены в порядке убывания их степеней:

Степень члена $-2m^3$ равна $3$.

Степень члена $-32mn$ равна $1 + 1 = 2$.

Степень члена $-6m$ равна $1$.

Таким образом, многочлен в стандартном виде записывается как $-2m^3 - 32mn - 6m$.

Ответ: $-2m^3 - 32mn - 6m$

г)

Рассмотрим выражение: $10a^3 \cdot (-5) + 3b \cdot (-a^2) + 7ab \cdot 2ab$.

1. Упростим каждый член многочлена:

$10a^3 \cdot (-5) = (10 \cdot (-5))a^3 = -50a^3$.

$3b \cdot (-a^2) = -3a^2b$.

$7ab \cdot 2ab = (7 \cdot 2)(a \cdot a)(b \cdot b) = 14a^2b^2$.

2. Запишем многочлен с упрощенными членами: $-50a^3 - 3a^2b + 14a^2b^2$.

3. Подобных членов нет.

4. Расположим члены в порядке убывания их степеней:

Степень члена $14a^2b^2$ равна $2 + 2 = 4$.

Степень члена $-50a^3$ равна $3$.

Степень члена $-3a^2b$ равна $2 + 1 = 3$.

Сначала идет член с наибольшей степенью ($4$). Затем идут члены со степенью $3$. Члены одинаковой степени принято располагать в лексикографическом порядке их буквенных частей. Сравнивая $a^3$ и $a^2b$, $a^3$ идет раньше.

Таким образом, многочлен в стандартном виде записывается как $14a^2b^2 - 50a^3 - 3a^2b$.

Ответ: $14a^2b^2 - 50a^3 - 3a^2b$