Номер 156, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 156, страница 72.

Условие.

156. Отмечены 5 точек. Сколько можно провести отрезков с концами в этих точках?

Число точек ............... .

Число отрезков, выходящих из одной точки, ............... .

Всего отрезков ............... .

Решение.

Решение 2.

Число точек. В условии задачи сказано, что отмечено 5 точек. На рисунке мы видим точки A, B, C, K и M.
Ответ: 5.

Число отрезков, выходящих из одной точки. Чтобы образовать отрезок, нужно соединить выбранную точку с любой другой. Поскольку всего точек 5, от одной конкретной точки можно провести отрезки ко всем остальным. Число таких отрезков равно общему числу точек минус одна (сама точка). То есть, $5 - 1 = 4$. На рисунке это проиллюстрировано для точки А: из неё выходят 4 отрезка (к точкам B, C, K, M).
Ответ: 4.

Всего отрезков. Из каждой из 5 точек выходит по 4 отрезка. Если мы умножим количество точек на количество отрезков, выходящих из каждой ($5 \times 4 = 20$), то каждый отрезок будет посчитан дважды (например, отрезок AB будет учтен при подсчете отрезков из точки А, и как отрезок BA при подсчете из точки B). Чтобы получить правильное количество уникальных отрезков, необходимо полученное произведение разделить на 2.
Формула для нахождения общего числа отрезков для $n$ точек: $N = \frac{n \times (n-1)}{2}$.
Подставим наши значения: $N = \frac{5 \times (5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
Эта задача также является классической задачей на нахождение числа сочетаний из $n$ по $k$, где $n=5$ (точки), а $k=2$ (концы отрезка).
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \Rightarrow C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10$.
Ответ: 10.