Страница 72 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

155. Каждому кубику присвоен трехзначный номер. Что означает первая цифра? вторая? третья? Впишите номера видимых кубиков. Впишите номера невидимых кубиков.

Что означает первая цифра? вторая? третья?

Первая цифра: номер слоя (высота), где 1 - нижний слой, 2 - средний слой, 3 - верхний слой.

Вторая цифра: номер ряда (глубина), где 1 - передний ряд, 2 - средний ряд, 3 - задний ряд.

Третья цифра: номер столбца (ширина), где 1 - правый столбец, 2 - средний столбец, 3 - левый столбец.

Номера видимых кубиков:

111, 112, 113, 121, 131, 211, 212, 213, 221, 231, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332, 333.

Номера невидимых кубиков:

122, 123, 132, 133, 222, 223, 232, 233.

Средний слой

Нижний слой

Что означает первая цифра? вторая? третья?

Трехзначный номер каждого кубика представляет собой его координаты в трехмерном пространстве большого куба. Проанализировав номера видимых кубиков, можно установить следующую систему нумерации:

• Первая цифра обозначает номер горизонтального слоя (ряда или этажа), на котором находится кубик, считая снизу вверх. Нижний слой имеет номер 1, средний — 2, верхний — 3. Например, все кубики в нижнем ряду имеют номера, начинающиеся с 1 (111, 112, 113).
• Вторая цифра обозначает номер вертикального слоя (в глубину), считая спереди назад. Передний слой имеет номер 1, средний — 2, задний — 3. Например, все кубики на видимой передней грани имеют 1 в качестве второй цифры (111, 211, 311 и т.д.).
• Третья цифра обозначает номер вертикального столбца, считая справа налево. Правый столбец имеет номер 1, средний — 2, левый — 3. Например, кубики в самом правом столбце на передней грани имеют номера 111, 211, 311.

Таким образом, номер кубика xyz означает, что он находится на x-ом этаже, в y-ом слое и в z-ом столбце.

Ответ: Первая цифра — номер ряда (этажа) снизу вверх (1, 2, 3). Вторая цифра — номер слоя спереди назад (1, 2, 3). Третья цифра — номер столбца справа налево (1, 2, 3).

Впишите номера видимых кубиков.

Большой куб состоит из $3 \times 3 \times 3 = 27$ малых кубиков. Видимыми считаются все кубики, которые находятся на внешней поверхности большого куба, то есть имеют хотя бы одну грань, выходящую наружу. Невидимым является только один кубик, расположенный в самом центре большого куба.

Следовательно, количество видимых кубиков равно $27 - 1 = 26$.

Используя установленную систему нумерации, перечислим номера всех видимых кубиков, сгруппировав их по слоям (спереди назад):

• Передний слой (вторая цифра 1): 111, 112, 113, 211, 212, 213, 311, 312, 313.
• Средний слой (вторая цифра 2): 121, 122, 123, 221, 223, 321, 322, 323. (Кубик 222 пропущен, так как он невидимый).
• Задний слой (вторая цифра 3): 131, 132, 133, 231, 232, 233, 331, 332, 333.

Ответ: 111, 112, 113, 211, 212, 213, 311, 312, 313, 121, 122, 123, 221, 223, 321, 322, 323, 131, 132, 133, 231, 232, 233, 331, 332, 333.

Впишите номера невидимых кубиков.

В кубе размером $3 \times 3 \times 3$ есть только один невидимый кубик — тот, что находится в самом центре, так как он со всех сторон окружен другими кубиками.

Чтобы найти его номер, определим его координаты:

• Он находится в среднем ряду (этаже), значит, первая цифра его номера — 2.
• Он находится в среднем слое, значит, вторая цифра его номера — 2.
• Он находится в среднем столбце, значит, третья цифра его номера — 2.

Таким образом, номер невидимого кубика — 222.

Ответ: 222.

156. Отмечены 5 точек. Сколько можно провести отрезков с концами в этих точках?

Число точек ............... .

Число отрезков, выходящих из одной точки, ............... .

Всего отрезков ............... .

Число точек. В условии задачи сказано, что отмечено 5 точек. На рисунке мы видим точки A, B, C, K и M.
Ответ: 5.

Число отрезков, выходящих из одной точки. Чтобы образовать отрезок, нужно соединить выбранную точку с любой другой. Поскольку всего точек 5, от одной конкретной точки можно провести отрезки ко всем остальным. Число таких отрезков равно общему числу точек минус одна (сама точка). То есть, $5 - 1 = 4$. На рисунке это проиллюстрировано для точки А: из неё выходят 4 отрезка (к точкам B, C, K, M).
Ответ: 4.

Всего отрезков. Из каждой из 5 точек выходит по 4 отрезка. Если мы умножим количество точек на количество отрезков, выходящих из каждой ($5 \times 4 = 20$), то каждый отрезок будет посчитан дважды (например, отрезок AB будет учтен при подсчете отрезков из точки А, и как отрезок BA при подсчете из точки B). Чтобы получить правильное количество уникальных отрезков, необходимо полученное произведение разделить на 2.
Формула для нахождения общего числа отрезков для $n$ точек: $N = \frac{n \times (n-1)}{2}$.
Подставим наши значения: $N = \frac{5 \times (5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
Эта задача также является классической задачей на нахождение числа сочетаний из $n$ по $k$, где $n=5$ (точки), а $k=2$ (концы отрезка).
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \Rightarrow C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10$.
Ответ: 10.