Страница 71 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

152. Представьте выражение в виде квадрата или куба.

$a^{12} = (\ldots)^2$

$y^{12} = (\ldots)^3$

$a^2b^6 = (\ldots)^2$

$x^6c^3 = (\ldots)^3$

$16c^8 = (\ldots)^2$

$27a^{15} = (\ldots)^3$

$25x^4y^{10} = (\ldots)^2$

$64x^6y^{21} = (\ldots)^3$

$a^{12} = (......)^2$ Чтобы представить выражение $a^{12}$ в виде квадрата, нужно найти такой одночлен, который при возведении во вторую степень даст исходное выражение. Воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Мы ищем такое число $k$, чтобы $(a^k)^2 = a^{12}$. Это равносильно уравнению $a^{2k} = a^{12}$, из которого следует, что $2k = 12$. Решая уравнение, находим $k = 6$. Таким образом, искомый одночлен — это $a^6$.
Ответ: $a^{12} = (a^6)^2$.

$a^2b^6 = (......)^2$ Чтобы представить произведение в виде квадрата, воспользуемся свойством $(xy)^n = x^n y^n$. Нам нужно представить каждый множитель в виде квадрата:
$a^2 = (a^1)^2 = a^2$
$b^6 = (b^k)^2 \implies 2k=6 \implies k=3 \implies b^6 = (b^3)^2$
Следовательно, $a^2b^6 = (a)^2(b^3)^2 = (ab^3)^2$.
Ответ: $a^2b^6 = (ab^3)^2$.

$16c^8 = (......)^2$ Представим каждый множитель данного одночлена в виде квадрата. Числовой коэффициент $16$ является квадратом числа $4$, то есть $16 = 4^2$. Для переменной $c^8$ ищем такое $k$, что $(c^k)^2 = c^{2k} = c^8$. Отсюда $2k = 8$ и $k=4$. Таким образом, $c^8 = (c^4)^2$. Собирая все вместе, получаем: $16c^8 = 4^2 \cdot (c^4)^2 = (4c^4)^2$.
Ответ: $16c^8 = (4c^4)^2$.

$25x^4y^{10} = (......)^2$ Для представления выражения в виде квадрата представим каждый его множитель в виде квадрата:
$25 = 5^2$
$x^4 = (x^2)^2$, так как $2 \cdot 2 = 4$
$y^{10} = (y^5)^2$, так как $2 \cdot 5 = 10$
Используя свойство степени произведения, получаем: $25x^4y^{10} = 5^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^5)^2 = (5x^2y^5)^2$.
Ответ: $25x^4y^{10} = (5x^2y^5)^2$.

$y^{12} = (......)^3$ Чтобы представить выражение $y^{12}$ в виде куба, нужно найти такой одночлен, который при возведении в третью степень даст исходное выражение. Используя свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, ищем такое $k$, чтобы $(y^k)^3 = y^{12}$. Это приводит к уравнению $y^{3k} = y^{12}$, откуда $3k = 12$. Решая уравнение, находим $k = 4$. Искомый одночлен — это $y^4$.
Ответ: $y^{12} = (y^4)^3$.

$x^6c^3 = (......)^3$ Для представления произведения в виде куба, представим каждый множитель в виде куба:
$x^6 = (x^k)^3 \implies 3k=6 \implies k=2 \implies x^6 = (x^2)^3$
$c^3 = (c^1)^3 = c^3$
Следовательно, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$, получаем: $x^6c^3 = (x^2)^3 \cdot c^3 = (x^2c)^3$.
Ответ: $x^6c^3 = (x^2c)^3$.

$27a^{15} = (......)^3$ Представим каждый множитель данного одночлена в виде куба. Числовой коэффициент $27$ является кубом числа $3$, так как $3^3 = 27$. Для переменной $a^{15}$ ищем такое $k$, что $(a^k)^3 = a^{3k} = a^{15}$. Отсюда $3k = 15$ и $k=5$. Таким образом, $a^{15} = (a^5)^3$. Собирая все вместе, получаем: $27a^{15} = 3^3 \cdot (a^5)^3 = (3a^5)^3$.
Ответ: $27a^{15} = (3a^5)^3$.

$64x^6y^{21} = (......)^3$ Для представления выражения в виде куба представим каждый его множитель в виде куба:
$64 = 4^3$, так как $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
$x^6 = (x^2)^3$, так как $3 \cdot 2 = 6$
$y^{21} = (y^7)^3$, так как $3 \cdot 7 = 21$
Используя свойство степени произведения, получаем: $64x^6y^{21} = 4^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^7)^3 = (4x^2y^7)^3$.
Ответ: $64x^6y^{21} = (4x^2y^7)^3$.

153. Найдите ошибку. Запишите верное преобразование.

a) $n^2 \cdot n^3 = n^5$ $c^2 \cdot c^5 = c^{10}$ $m^7 \cdot m^3 = m^4$

б) $b^{12} : b^3 = b^4$ $\frac{c^3 \cdot c^5}{c^2} = c^6$ $\frac{a^8}{a^4 \cdot a^5} = a$

B) $(d^4)^3 = d^7$ $(k \cdot k^2)^4 = k^9$ $(x^3 \cdot x)^2 = x^8$

a)

Равенство $n^2 \cdot n^3 = n^5$ верное. По свойству умножения степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $n^2 \cdot n^3 = n^{2+3} = n^5$.

В равенстве $c^2 \cdot c^5 = c^{10}$ допущена ошибка. При умножении степеней их показатели должны складываться, а не перемножаться.
Верное преобразование: $c^2 \cdot c^5 = c^{2+5} = c^7$.
Ответ: $c^7$.

В равенстве $m^7 \cdot m^3 = m^4$ допущена ошибка. При умножении степеней их показатели должны складываться. В примере же их вычли, что является правилом для деления степеней.
Верное преобразование: $m^7 \cdot m^3 = m^{7+3} = m^{10}$.
Ответ: $m^{10}$.

б)

В равенстве $b^{12} : b^3 = b^4$ допущена ошибка. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а не делятся.
Верное преобразование: $b^{12} : b^3 = b^{12-3} = b^9$.
Ответ: $b^9$.

Равенство $\frac{c^3 \cdot c^5}{c^2} = c^6$ верное. Сначала выполняется умножение в числителе, а затем деление: $\frac{c^3 \cdot c^5}{c^2} = \frac{c^{3+5}}{c^2} = \frac{c^8}{c^2} = c^{8-2} = c^6$.

В равенстве $\frac{a^8}{a^4 \cdot a^5} = a$ допущена ошибка. Сначала выполняется умножение в знаменателе, а затем деление.
Верное преобразование: $\frac{a^8}{a^4 \cdot a^5} = \frac{a^8}{a^{4+5}} = \frac{a^8}{a^9} = a^{8-9} = a^{-1}$.
Ответ: $a^{-1}$.

в)

В равенстве $(d^4)^3 = d^7$ допущена ошибка. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а не складываются.
Верное преобразование: $(d^4)^3 = d^{4 \cdot 3} = d^{12}$.
Ответ: $d^{12}$.

В равенстве $(k \cdot k^2)^4 = k^9$ допущена ошибка. Сначала нужно упростить выражение в скобках, а затем возводить в степень.
Верное преобразование: $(k \cdot k^2)^4 = (k^{1+2})^4 = (k^3)^4 = k^{3 \cdot 4} = k^{12}$.
Ответ: $k^{12}$.

Равенство $(x^3 \cdot x)^2 = x^8$ верное. Сначала упрощаем выражение в скобках, а затем возводим в степень: $(x^3 \cdot x)^2 = (x^{3+1})^2 = (x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8$.

154. а) Сколько существует двузначных чисел, составленных из нечетных цифр? Запишите их.

Первая цифра
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
1, 3, 5, 7, 9
5 вариантов

Вторая цифра
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
1, 3, 5, 7, 9
5 вариантов

Всего вариантов ......................... .

11 13 15 1... ...
31 33 3... ...
...1 ... ...
... ... ...
... ... ...

б) Сколько существует двузначных чисел, составленных из четных цифр?

Первая цифра
↑ ↑ ↑ ↑
2, 4, 6, 8
4 варианта

Вторая цифра
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0, 2, 4, 6, 8
5 вариантов

Всего вариантов ......................... .

20 22 2... ... ...
40 42 ... ... ...
...0 ... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...

Для решения этой задачи нужно определить, сколько существует двузначных чисел, обе цифры которых являются нечетными. Нечетные цифры это: 1, 3, 5, 7, 9. Всего их 5.

Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков (первая) и цифры единиц (вторая).

В качестве первой цифры можно выбрать любую из 5 нечетных цифр (1, 3, 5, 7, 9). Следовательно, у нас есть 5 вариантов для первой цифры.

В качестве второй цифры также можно выбрать любую из 5 нечетных цифр (1, 3, 5, 7, 9). У нас есть 5 вариантов для второй цифры.

Чтобы найти общее количество возможных двузначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это называется правилом умножения в комбинаторике.

$5 \text{ (вариантов для первой цифры)} \times 5 \text{ (вариантов для второй цифры)} = 25 \text{ (чисел)}$

Таким образом, существует 25 двузначных чисел, составленных из нечетных цифр.

Вот список этих чисел:
11, 13, 15, 17, 19
31, 33, 35, 37, 39
51, 53, 55, 57, 59
71, 73, 75, 77, 79
91, 93, 95, 97, 99

Ответ: Существует 25 двузначных чисел, составленных из нечетных цифр. Это числа: 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, 35, 37, 39, 51, 53, 55, 57, 59, 71, 73, 75, 77, 79, 91, 93, 95, 97, 99.

Теперь найдем, сколько существует двузначных чисел, составленных из четных цифр. Четные цифры это: 0, 2, 4, 6, 8. Всего их 5.

Первая цифра (цифра десятков) двузначного числа не может быть нулем. Поэтому для первой цифры мы можем выбрать любую из четных цифр, кроме 0. У нас остаются: 2, 4, 6, 8. Таким образом, для первой цифры есть 4 варианта.

Вторая цифра (цифра единиц) может быть любой из 5 четных цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Следовательно, для второй цифры есть 5 вариантов.

Используя правило умножения, найдем общее количество таких чисел:

$4 \text{ (вариантов для первой цифры)} \times 5 \text{ (вариантов для второй цифры)} = 20 \text{ (чисел)}$

Ответ: Существует 20 двузначных чисел, составленных из четных цифр.