Страница 64 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

127. Обведите ту часть графика $y = |x|$, которая удовлетворяет условию $-4 \le x \le 4$.

Для решения этой задачи необходимо найти на графике функции $y = |x|$ все точки, для которых координата $x$ удовлетворяет неравенству $-4 \leq x \leq 4$. Это означает, что мы ищем часть графика, расположенную между вертикальными линиями $x=-4$ и $x=4$, включая сами эти линии.

Сначала определим координаты конечных точек искомого участка графика. Для этого подставим граничные значения $x$ в уравнение функции $y = |x|$:
- Левая граница: при $x = -4$, получаем $y = |-4| = 4$. Координаты точки: $(-4, 4)$.
- Правая граница: при $x = 4$, получаем $y = |4| = 4$. Координаты точки: $(4, 4)$.

Таким образом, часть графика, удовлетворяющая заданному условию, представляет собой непрерывную ломаную линию, которая начинается в точке $(-4, 4)$, спускается к началу координат, точке $(0, 0)$ (которая является вершиной графика), а затем поднимается к точке $(4, 4)$.

На изображении ниже эта часть графика выделена красным цветом.

Ответ: Часть графика, удовлетворяющая условию $-4 \leq x \leq 4$, представляет собой ломаную линию, которая соединяет последовательно точки с координатами $(-4, 4)$, $(0, 0)$ и $(4, 4)$.

128. График задан зависимостью:

а) $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } -2 \le x \le 2, \\ x+6 & \text{при } x < -2, \\ -x+6 & \text{при } x > 2; \end{cases}$ б) $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x < -3 \text{ и } x > 3, \\ |x| & \text{при } -3 \le x \le 3. \end{cases}$

Покажите его, обведя необходимые линии.

а) Данная кусочно-заданная функция состоит из трех частей. Проанализируем каждую из них на соответствующем промежутке.

1. На отрезке $-2 \le x \le 2$ график функции совпадает с графиком параболы $y = x^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Найдем значения функции на концах отрезка: при $x=-2$, $y=(-2)^2=4$ (точка $(-2, 4)$); при $x=2$, $y=2^2=4$ (точка $(2, 4)$). Следовательно, на графике нужно выбрать сегмент параболы, соединяющий эти две точки.

2. На промежутке $x < -2$ график функции совпадает с прямой $y = x + 6$. Это линейная функция, график которой — прямая. В граничной точке $x=-2$ значение функции стремится к $y = -2 + 6 = 4$. Таким образом, эта часть графика представляет собой луч, который выходит из точки $(-2, 4)$ и идет влево-вверх.

3. На промежутке $x > 2$ график функции совпадает с прямой $y = -x + 6$. Это также линейная функция. В граничной точке $x=2$ значение функции стремится к $y = -2 + 6 = 4$. Этот луч выходит из точки $(2, 4)$ и идет вправо-вниз.

Поскольку в точках "стыковки" $x=-2$ и $x=2$ значения всех частей функции совпадают и равны 4, итоговый график является непрерывной линией. Он состоит из сегмента параболы и двух лучей, отходящих от его конечных точек.

Ответ: На рисунке а) необходимо обвести часть параболы $y=x^2$ на отрезке $[-2, 2]$, а также луч прямой $y=x+6$ при $x<-2$ и луч прямой $y=-x+6$ при $x>2$. В результате получится график, напоминающий букву W с закругленным основанием.

б) Эта функция задана двумя частями. Проанализируем каждую из них.

1. На отрезке $-3 \le x \le 3$ график функции совпадает с графиком модуля $y = |x|$. Это V-образный график с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Найдем значения на концах отрезка: при $x=-3, y=|-3|=3$ (точка $(-3, 3)$); при $x=3, y=|3|=3$ (точка $(3, 3)$). На рисунке нужно выбрать сегмент V-образного графика, заключенный между этими двумя точками.

2. На промежутках $x < -3$ и $x > 3$ график функции — это константа $y=3$. Графиком является горизонтальная прямая. Это означает, что от точки $(-3, 3)$ отходит горизонтальный луч влево, а от точки $(3, 3)$ — горизонтальный луч вправо. Эти лучи нужно дорисовать на координатной плоскости, так как они не показаны на исходном рисунке.

Так как в точках "стыковки" $x=-3$ и $x=3$ значения обеих частей функции совпадают ($y=3$), итоговый график является непрерывным.

Ответ: На рисунке б) необходимо обвести часть графика $y=|x|$ на отрезке $[-3, 3]$. Затем от конечных точек этого сегмента, $(-3, 3)$ и $(3, 3)$, нужно дорисовать два горизонтальных луча вдоль прямой $y=3$: один влево для всех $x<-3$, другой вправо для всех $x>3$.

129. Заполните таблицу и постройте график, заданный зависимостью:

a) $y = x^2 - 4x;$

б) $y = x^2 - 4.$

a)

б)

а) Для функции $y = x^2 - 4x$

Чтобы заполнить таблицу, вычислим значение y для каждого заданного значения x:

• Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 - 4 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
• Если $x = 0$, то $y = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.
• Если $x = 1$, то $y = 1^2 - 4 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
• Если $x = 3$, то $y = 3^2 - 4 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
• Если $x = 4$, то $y = 4^2 - 4 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$.
• Если $x = 5$, то $y = 5^2 - 4 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Для построения графика отметим на координатной плоскости точки с координатами из таблицы: (-1, 5), (0, 0), (1, -3), (2, -4), (3, -3), (4, 0), (5, 5). Соединим эти точки плавной линией. Получим параболу с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке (2, -4), которую можно найти по формуле $x_0 = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$.

Ответ:

Заполненная таблица:

График функции — парабола с вершиной в точке (2, -4) и ветвями, направленными вверх.

б) Для функции $y = x^2 - 4$

Чтобы заполнить таблицу, вычислим значение y для каждого заданного значения x:

• Если $x = -3$, то $y = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$.
• Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
• Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
• Если $x = 0$, то $y = 0^2 - 4 = -4$.
• Если $x = 1$, то $y = 1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
• Если $x = 3$, то $y = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Для построения графика отметим на координатной плоскости точки с координатами из таблицы: (-3, 5), (-2, 0), (-1, -3), (0, -4), (1, -3), (2, 0), (3, 5). Соединим эти точки плавной линией. Получим параболу, симметричную относительно оси OY, с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке (0, -4).

Ответ:

Заполненная таблица:

График функции — парабола с вершиной в точке (0, -4) и ветвями, направленными вверх.