Страница 60 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

121. Обведите ту часть каждой прямой, которая удовлетворяет условию:

а) $x \ge 0$;

б) $x < 0$.

$y=x$

$y=-x+3$

$y=-4$

а) $x \ge 0$

В данном задании необходимо выделить на графике те части каждой из трех прямых, для которых выполняется условие $x \ge 0$. Это неравенство означает, что мы рассматриваем все точки на координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) больше или равна нулю. Геометрически это соответствует правой полуплоскости, включая ось ординат ($y$).

Рассмотрим каждую прямую:

1. Для прямой $y=x$: Условию $x \ge 0$ удовлетворяют все точки этой прямой, начиная с точки $(0, 0)$ (где $x=0$) и далее вправо. Это луч, который начинается в начале координат и уходит вправо и вверх, проходя через точки $(1, 1)$, $(2, 2)$ и т.д. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точка $(0, 0)$ включается в искомую часть прямой.

2. Для прямой $y=-x+3$: Найдем точку пересечения этой прямой с осью $y$, подставив $x=0$. Получаем $y = -0 + 3 = 3$. Точка пересечения — $(0, 3)$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяют все точки этой прямой, начиная с точки $(0, 3)$ и далее вправо. Это луч, который начинается в точке $(0, 3)$ и уходит вправо и вниз, проходя через точку $(3, 0)$. Точка $(0, 3)$ включается.

3. Для прямой $y=-4$: Это горизонтальная прямая. Условию $x \ge 0$ удовлетворяют все точки этой прямой, у которых абсцисса неотрицательна. Это луч, начинающийся в точке пересечения с осью $y$, то есть в точке $(0, -4)$, и идущий вправо. Точка $(0, -4)$ также включается.

Ответ: Для условия $x \ge 0$ нужно обвести следующие части прямых: на прямой $y=x$ — луч, начинающийся в точке $(0, 0)$ и идущий вправо-вверх; на прямой $y=-x+3$ — луч, начинающийся в точке $(0, 3)$ и идущий вправо-вниз; на прямой $y=-4$ — луч, начинающийся в точке $(0, -4)$ и идущий вправо. Все начальные точки лучей $(0, 0)$, $(0, 3)$ и $(0, -4)$ включаются.

б) $x < 0$

В этом задании необходимо выделить на графике те части каждой из трех прямых, для которых выполняется условие $x < 0$. Это неравенство означает, что мы рассматриваем все точки, у которых абсцисса (координата $x$) строго меньше нуля. Геометрически это соответствует левой полуплоскости, не включая ось ординат ($y$).

Рассмотрим каждую прямую:

1. Для прямой $y=x$: Условию $x < 0$ удовлетворяют все точки этой прямой, находящиеся слева от оси $y$. Это луч, идущий из начала координат $(0, 0)$ влево и вниз, проходя через точки $(-1, -1)$, $(-2, -2)$ и т.д. Поскольку неравенство строгое (<), точка $(0, 0)$ не включается в искомую часть прямой. На графике это обычно обозначается "выколотой" или пустой точкой.

2. Для прямой $y=-x+3$: Условию $x < 0$ удовлетворяют все точки этой прямой, находящиеся слева от точки пересечения с осью $y$, то есть $(0, 3)$. Это луч, идущий из точки $(0, 3)$ влево и вверх. Точка $(0, 3)$ не включается.

3. Для прямой $y=-4$: Условию $x < 0$ удовлетворяют все точки этой горизонтальной прямой, лежащие слева от оси $y$. Это луч, идущий из точки $(0, -4)$ влево. Точка $(0, -4)$ не включается.

Ответ: Для условия $x < 0$ нужно обвести следующие части прямых: на прямой $y=x$ — луч, идущий из точки $(0, 0)$ влево-вниз; на прямой $y=-x+3$ — луч, идущий из точки $(0, 3)$ влево-вверх; на прямой $y=-4$ — луч, идущий из точки $(0, -4)$ влево. Все начальные точки лучей $(0, 0)$, $(0, 3)$ и $(0, -4)$ не включаются (являются "выколотыми").

122. Изображенная прямая является графиком зависимости $y = x - 3$. Покажите на графике множество точек, удовлетворяющих условию:

а) $y = x - 3$ и $x \le -4$;

б) $y = x - 3$ и $-3 \le x \le 1$;

в) $y = x - 3$ и $x \ge 2$.

В данной задаче необходимо выделить на графике прямой $y = x - 3$ те участки, которые соответствуют заданным условиям для переменной $x$.

а) $y = x - 3$ и $x \le -4$

Требуется найти множество точек на прямой $y = x - 3$, абсциссы которых не превышают $-4$. Это будет луч, являющийся частью исходной прямой. Найдем координаты начальной точки этого луча. Для этого подставим граничное значение $x = -4$ в уравнение прямой:

$y = -4 - 3 = -7$

Таким образом, начальная точка луча имеет координаты $(-4, -7)$. Поскольку неравенство $x \le -4$ является нестрогим, эта точка включается в искомое множество. Множество точек, удовлетворяющих данному условию, представляет собой луч, который начинается в точке $(-4, -7)$ и идет влево-вниз вдоль прямой $y = x - 3$.

Ответ: Искомое множество точек — это луч с началом в точке $(-4, -7)$, являющийся частью прямой $y = x - 3$ и расположенный в области, где $x \le -4$.

б) $y = x - 3$ и $-3 \le x \le 1$

Требуется найти множество точек на прямой $y = x - 3$, абсциссы которых находятся в промежутке от $-3$ до $1$ включительно. Это будет отрезок прямой. Найдем координаты конечных точек этого отрезка.

При $x = -3$:
$y = -3 - 3 = -6$
Координаты первой конечной точки: $(-3, -6)$.

При $x = 1$:
$y = 1 - 3 = -2$
Координаты второй конечной точки: $(1, -2)$.

Так как неравенства нестрогие, обе конечные точки включаются в искомое множество.

Ответ: Искомое множество точек — это отрезок прямой $y = x - 3$ с концами в точках $(-3, -6)$ и $(1, -2)$.

в) $y = x - 3$ и $x \ge 2$

Требуется найти множество точек на прямой $y = x - 3$, абсциссы которых не меньше $2$. Как и в пункте а), это будет луч. Найдем координаты начальной точки этого луча, подставив граничное значение $x = 2$ в уравнение прямой:

$y = 2 - 3 = -1$

Начальная точка луча имеет координаты $(2, -1)$. Поскольку неравенство $x \ge 2$ нестрогое, эта точка включается в искомое множество. Множество точек, удовлетворяющих данному условию, представляет собой луч, который начинается в точке $(2, -1)$ и идет вправо-вверх вдоль прямой $y = x - 3$.

Ответ: Искомое множество точек — это луч с началом в точке $(2, -1)$, являющийся частью прямой $y = x - 3$ и расположенный в области, где $x \ge 2$.