Страница 55 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

114. Прямоугольник задан координатами его вершин:
A(-6; 3), B(4; 3), C(4; -5), D(-6; -5).

1) Проведите прямые, которым принадлежат стороны прямоугольника, и опишите их алгебраически.
Ответ: прямая AB — $y = 3$;
прямая BC — $x = 4$;
прямая CD — $y = -5$;
прямая AD — $x = -6$;

2) Запишите условия, которым удовлетворяют координаты точек, лежащих на сторонах прямоугольника.
Ответ: на стороне AB — $-6 \le x \le 4$; $y = 3$;
на стороне BC — $x = 4$; $-5 \le y \le 3$;
на стороне CD — $-6 \le x \le 4$; $y = -5$;
на стороне AD — $x = -6$; $-5 \le y \le 3$;

3) Каким неравенствам удовлетворяют точки, лежащие внутри прямоугольника?
Ответ: $-6 < x < 4$; $-5 < y < 3$

4) Проведите оси симметрии прямоугольника. Запишите условия, их задающие.
Ответ: $x = -1$; $y = -1$

5) Найдите координаты центра симметрии прямоугольника.
Ответ: $(-1; -1)$

1) Проведите прямые, которым принадлежат стороны прямоугольника, и опишите их алгебраически.

Стороны прямоугольника ABCD расположены на прямых, параллельных осям координат. Уравнение прямой, параллельной оси ординат (Oy), имеет вид $x=const$, а уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (Ox), имеет вид $y=const$.

• прямая AB: Координаты вершин A(-6; 3) и B(4; 3). Обе точки имеют одинаковую ординату $y=3$. Следовательно, прямая, содержащая сторону AB, задается уравнением $y=3$.

• прямая BC: Координаты вершин B(4; 3) и C(4; -5). Обе точки имеют одинаковую абсциссу $x=4$. Следовательно, прямая, содержащая сторону BC, задается уравнением $x=4$.

• прямая CD: Координаты вершин C(4; -5) и D(-6; -5). Обе точки имеют одинаковую ординату $y=-5$. Следовательно, прямая, содержащая сторону CD, задается уравнением $y=-5$.

• прямая AD: Координаты вершин A(-6; 3) и D(-6; -5). Обе точки имеют одинаковую абсциссу $x=-6$. Следовательно, прямая, содержащая сторону AD, задается уравнением $x=-6$.

Ответ: прямая AB — $y=3$; прямая BC — $x=4$; прямая CD — $y=-5$; прямая AD — $x=-6$.

2) Запишите условия, которым удовлетворяют координаты точек, лежащих на сторонах прямоугольника.

Сторона прямоугольника является отрезком. Для точек, принадлежащих отрезку, одна из координат постоянна, а другая изменяется в пределах, ограниченных координатами концов отрезка.

• на стороне AB: Для любой точки на этой стороне ордината $y=3$. Абсцисса $x$ изменяется от -6 до 4. Условия: $y=3$ и $-6 \le x \le 4$.

• на стороне BC: Для любой точки на этой стороне абсцисса $x=4$. Ордината $y$ изменяется от -5 до 3. Условия: $x=4$ и $-5 \le y \le 3$.

• на стороне CD: Для любой точки на этой стороне ордината $y=-5$. Абсцисса $x$ изменяется от -6 до 4. Условия: $y=-5$ и $-6 \le x \le 4$.

• на стороне AD: Для любой точки на этой стороне абсцисса $x=-6$. Ордината $y$ изменяется от -5 до 3. Условия: $x=-6$ и $-5 \le y \le 3$.

Ответ: на стороне AB — $-6 \le x \le 4, y=3$; на стороне BC — $x=4, -5 \le y \le 3$; на стороне CD — $-6 \le x \le 4, y=-5$; на стороне AD — $x=-6, -5 \le y \le 3$.

3) Каким неравенствам удовлетворяют точки, лежащие внутри прямоугольника?

Точки, лежащие внутри прямоугольника (не на его границе), ограничены его сторонами. Абсцисса $x$ любой такой точки должна быть строго больше абсциссы левой стороны ($x=-6$) и строго меньше абсциссы правой стороны ($x=4$). Аналогично, ордината $y$ любой такой точки должна быть строго больше ординаты нижней стороны ($y=-5$) и строго меньше ординаты верхней стороны ($y=3$).

Это можно записать в виде системы двойных неравенств:

$$ \begin{cases} -6 < x < 4 \\ -5 < y < 3 \end{cases} $$

Ответ: $-6 < x < 4$ и $-5 < y < 3$.

4) Проведите оси симметрии прямоугольника. Запишите условия, их задающие.

Прямоугольник имеет две оси симметрии. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон и параллельна двум другим сторонам.

Первая ось симметрии — это вертикальная прямая, равноудаленная от сторон AD ($x=-6$) и BC ($x=4$). Её уравнение находится как среднее арифметическое абсцисс этих сторон: $x = \frac{-6+4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Вторая ось симметрии — это горизонтальная прямая, равноудаленная от сторон AB ($y=3$) и CD ($y=-5$). Её уравнение находится как среднее арифметическое ординат этих сторон: $y = \frac{3+(-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Ответ: Оси симметрии задаются уравнениями $x=-1$ и $y=-1$.

5) Найдите координаты центра симметрии прямоугольника.

Центр симметрии прямоугольника — это точка пересечения его диагоналей. Эта точка также является точкой пересечения его осей симметрии.

Из предыдущего пункта известно, что оси симметрии заданы уравнениями $x=-1$ и $y=-1$. Точка их пересечения имеет координаты $(-1; -1)$.

Другой способ — найти середину одной из диагоналей, например, AC. Координаты вершин A(-6; 3) и C(4; -5).
Координаты $(x_0; y_0)$ середины отрезка AC вычисляются по формулам:
$x_0 = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-6+4}{2} = -1$
$y_0 = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3+(-5)}{2} = -1$
Следовательно, координаты центра симметрии — $(-1; -1)$.

Ответ: $(-1; -1)$.