Страница 51 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

108. Опишите заштрихованную область на алгебраическом языке.

а) $-6 \le x \le 4$

$0 \le y \le 4$

б) $-4 \le x \le 7$

$-2 \le y \le 4$

а)

Заштрихованная область представляет собой прямоугольник на координатной плоскости. Чтобы описать ее на алгебраическом языке, нужно определить границы для координат $x$ и $y$.

Смотрим на границы по горизонтали (по оси $x$): левая граница области проходит по вертикальной прямой $x = -6$, а правая граница — по прямой $x = 5$. Поскольку заштрихованная область находится между этими прямыми, включая сами прямые (линии сплошные), то координата $x$ для любой точки области удовлетворяет двойному неравенству: $-6 \le x \le 5$.

Теперь смотрим на границы по вертикали (по оси $y$): нижняя граница области совпадает с осью абсцисс, то есть с прямой $y = 0$. Верхняя граница проходит по горизонтальной прямой $y = 4$. Таким образом, координата $y$ для любой точки области удовлетворяет двойному неравенству: $0 \le y \le 4$.

Объединив оба условия, мы получаем систему неравенств, которая полностью описывает заштрихованную область.

Ответ: $ \begin{cases} -6 \le x \le 5 \\ 0 \le y \le 4 \end{cases} $

б)

Аналогично пункту а), заштрихованная область является прямоугольником. Определим его границы.

Границы по оси $x$: левая граница — прямая $x = -3$, правая граница — прямая $x = 6$. Все точки области, включая границы, удовлетворяют условию: $-3 \le x \le 6$.

Границы по оси $y$: нижняя граница — прямая $y = -3$, верхняя граница — прямая $y = 4$. Все точки области, включая границы, удовлетворяют условию: $-3 \le y \le 4$.

Таким образом, система неравенств, описывающая данную заштрихованную область, имеет следующий вид.

Ответ: $ \begin{cases} -3 \le x \le 6 \\ -3 \le y \le 4 \end{cases} $

109. Покажите штриховкой на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих данному условию.

а) $x > 1$

б) $x \le 5$

В) $x \ge -4$

г) $y < 3$

Д) $-2 < y < 2$

е) $-4 \le y \le 3$

Ж) $-5 \le x \le 4$

$1 \le y \le 3$

з) $x \ge 0$

$y \ge 0$

а)

Неравенство $x > 1$ задает множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса (координата $x$) которых строго больше 1. Сначала рассмотрим граничное уравнение $x = 1$. Это уравнение задает вертикальную прямую, проходящую через точку $(1, 0)$ и параллельную оси $y$. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки, лежащие на самой прямой $x = 1$, не входят в искомое множество. Поэтому границу следует изображать пунктирной линией. Все точки, удовлетворяющие условию $x > 1$, находятся справа от этой прямой. Таким образом, нужно заштриховать всю полуплоскость, расположенную правее пунктирной прямой $x = 1$.

Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная справа от прямой $x = 1$. Сама прямая в множество не входит.

б)

Неравенство $x \le 5$ описывает множество всех точек, абсцисса которых меньше или равна 5. Граничной линией является прямая $x = 5$ — вертикальная прямая, проходящая через точку $(5, 0)$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки на самой прямой $x = 5$ удовлетворяют условию и являются частью множества. Поэтому границу изображают сплошной линией. Условию $x \le 5$ удовлетворяют все точки, которые лежат на прямой $x = 5$ или слева от нее. Следовательно, штриховкой нужно показать всю полуплоскость левее прямой $x = 5$, включая саму прямую.

Ответ: Замкнутая полуплоскость, расположенная слева от прямой $x = 5$. Сама прямая входит в множество.

в)

Неравенство $x \ge -4$ задает множество точек, абсцисса которых больше или равна -4. Границей множества является вертикальная прямая $x = -4$, проходящая через точку $(-4, 0)$. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому точки на этой прямой включаются в решение. Линия изображается сплошной. Точки, у которых $x \ge -4$, расположены на прямой $x = -4$ или справа от нее. Штриховкой покрывается вся правая полуплоскость относительно прямой $x = -4$, включая границу.

Ответ: Замкнутая полуплоскость, расположенная справа от прямой $x = -4$. Сама прямая входит в множество.

г)

Неравенство $y < 3$ описывает множество всех точек, ордината (координата $y$) которых строго меньше 3. Границей является горизонтальная прямая $y = 3$, проходящая через точку $(0, 3)$ и параллельная оси $x$. Неравенство строгое (<), поэтому точки на границе не являются частью решения. Прямая $y = 3$ изображается пунктирной линией. Точки, удовлетворяющие условию $y < 3$, находятся ниже этой прямой. Штриховкой показывается вся полуплоскость под пунктирной прямой $y = 3$.

Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = 3$. Сама прямая в множество не входит.

д)

Двойное неравенство $-2 < y < 2$ эквивалентно системе двух неравенств: $y > -2$ и $y < 2$. Первое неравенство $y > -2$ задает полуплоскость выше пунктирной горизонтальной прямой $y = -2$. Второе неравенство $y < 2$ задает полуплоскость ниже пунктирной горизонтальной прямой $y = 2$. Искомое множество является пересечением этих двух полуплоскостей. Это горизонтальная полоса, заключенная между прямыми $y = -2$ и $y = 2$. Так как оба неравенства строгие, граничные прямые не включаются в множество и изображаются пунктиром.

Ответ: Горизонтальная полоса между прямыми $y = -2$ и $y = 2$. Граничные прямые в множество не входят.

е)

Двойное неравенство $-4 \le y \le 3$ можно представить в виде системы: $y \ge -4$ и $y \le 3$. Неравенство $y \ge -4$ задает полуплоскость, расположенную на и выше сплошной горизонтальной прямой $y = -4$. Неравенство $y \le 3$ задает полуплоскость, расположенную на и ниже сплошной горизонтальной прямой $y = 3$. Решением является пересечение этих двух областей — горизонтальная полоса, ограниченная сплошными линиями $y = -4$ и $y = 3$. Границы включены в решение.

Ответ: Замкнутая горизонтальная полоса между прямыми $y = -4$ и $y = 3$. Граничные прямые входят в множество.

ж)

Здесь дана система из двух двойных неравенств: $-5 \le x \le 4$ и $1 \le y \le 3$. Первое условие, $-5 \le x \le 4$, задает вертикальную полосу между сплошными прямыми $x = -5$ и $x = 4$, включая эти прямые. Второе условие, $1 \le y \le 3$, задает горизонтальную полосу между сплошными прямыми $y = 1$ и $y = 3$, включая эти прямые. Искомое множество точек — это пересечение этих двух полос. В результате получается прямоугольник, ограниченный отрезками прямых $x=-5$, $x=4$, $y=1$, $y=3$. Вершины прямоугольника находятся в точках $(-5, 1)$, $(4, 1)$, $(4, 3)$ и $(-5, 3)$. Так как все неравенства нестрогие, сам прямоугольник и его границы являются решением.

Ответ: Замкнутый прямоугольник с вершинами в точках $(-5, 1)$, $(4, 1)$, $(4, 3)$ и $(-5, 3)$.

з)

Система неравенств $x \ge 0$ и $y \ge 0$ задает множество точек, у которых и абсцисса, и ордината неотрицательны. Неравенство $x \ge 0$ описывает правую полуплоскость, включая ось $y$ (прямую $x=0$). Неравенство $y \ge 0$ описывает верхнюю полуплоскость, включая ось $x$ (прямую $y=0$). Пересечение этих двух полуплоскостей — это первая координатная четверть (или первый квадрант). Поскольку неравенства нестрогие, оси координат (положительные полуоси и начало координат) также входят в искомое множество.

Ответ: Первая координатная четверть, включая неотрицательные части осей координат.