Страница 47 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

102. Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: $x \ge 5$; $x < -4$; $-3 \le x \le 0$; $1 < x < 2$.

$x \ge 5$

Неравенство $x \ge 5$ (читается как "икс больше или равно пяти") определяет множество всех чисел, которые не меньше числа 5. На координатной прямой это множество представляет собой числовой луч.
Для его изображения мы отмечаем на оси точку 5. Поскольку неравенство нестрогое (содержит знак "равно"), точка 5 принадлежит этому множеству. На прямой ее обозначают закрашенной (сплошной) точкой. Все числа, большие 5, расположены на прямой правее этой точки, поэтому мы заштриховываем часть прямой справа от точки 5.

Такой числовой промежуток обозначается как $[5; +\infty)$. Квадратная скобка у числа 5 указывает, что оно включено в промежуток. Знак бесконечности $+\infty$ всегда используется с круглой скобкой.

Ответ: Изображение промежутка $[5; +\infty)$ представлено на координатной прямой выше.

$x < -4$

Неравенство $x < -4$ (читается как "икс меньше минус четырех") определяет множество всех чисел, которые строго меньше числа -4. Это числовой промежуток, который является открытым лучом.
Для его изображения мы отмечаем на оси точку -4. Поскольку неравенство строгое (не содержит знака "равно"), точка -4 не принадлежит этому множеству. На прямой ее обозначают выколотой (пустой) точкой. Все числа, меньшие -4, расположены на прямой левее этой точки, поэтому мы заштриховываем часть прямой слева от точки -4.

Такой числовой промежуток обозначается как $(-\infty; -4)$. Круглая скобка у числа -4 указывает, что оно не включено в промежуток.

Ответ: Изображение промежутка $(-\infty; -4)$ представлено на координатной прямой выше.

$-3 \le x \le 0$

Двойное неравенство $-3 \le x \le 0$ (читается как "икс больше или равен минус трем и меньше или равен нулю") определяет множество всех чисел, заключенных между -3 и 0, включая сами эти числа. Этот числовой промежуток называется отрезком.
Для его изображения мы отмечаем на оси точки -3 и 0. Поскольку оба неравенства нестрогие, обе точки принадлежат множеству и обозначаются закрашенными точками. Область между этими точками заштриховывается.

Такой числовой промежуток обозначается как $[-3; 0]$. Квадратные скобки у обоих чисел указывают, что они включены в промежуток.

Ответ: Изображение промежутка $[-3; 0]$ представлено на координатной прямой выше.

$1 < x < 2$

Двойное неравенство $1 < x < 2$ (читается как "икс строго больше одного и строго меньше двух") определяет множество всех чисел, заключенных между 1 и 2, не включая сами эти числа. Этот числовой промежуток называется интервалом.
Для его изображения мы отмечаем на оси точки 1 и 2. Поскольку оба неравенства строгие, обе точки не принадлежат множеству и обозначаются выколотыми точками. Область между этими точками заштриховывается.

Такой числовой промежуток обозначается как $(1; 2)$. Круглые скобки у обоих чисел указывают, что они не включены в промежуток.

Ответ: Изображение промежутка $(1; 2)$ представлено на координатной прямой выше.

103. Постройте точки $A_1$, $A_2$ и $A_3$, симметричные точке $A$ относительно оси абсцисс, оси ординат и центра координат соответственно. Занесите координаты точек в таблицу. Выполните это задание и для точек $B, C, E$.

Точка, координаты

Точки, симметричные относительно

оси x

оси y

центра

$A(5; 3)$

$A_1(...; ...)$

$A_2(...; ...)$

$A_3(...; ...)$

$B(2; -6)$

$B_1(...; ...)$

$B_2(...; ...)$

$B_3(...; ...)$

$C(-7; 5)$

$C_1(...; ...)$

$C_2(...; ...)$

$C_3(...; ...)$

$E(-5; -4)$

$E_1(...; ...)$

$E_2(...; ...)$

$E_3(...; ...)$

Для решения задачи сначала определим координаты исходных точек по графику, а затем найдем координаты симметричных им точек, используя правила симметрии в декартовой системе координат.

Правила симметрии:

• При симметрии относительно оси x (оси абсцисс), у точки с координатами $ (x; y) $ симметричная ей точка будет иметь координаты $ (x; -y) $.
• При симметрии относительно оси y (оси ординат), у точки с координатами $ (x; y) $ симметричная ей точка будет иметь координаты $ (-x; y) $.
• При симметрии относительно центра координат (точки $ O(0;0) $), у точки с координатами $ (x; y) $ симметричная ей точка будет иметь координаты $ (-x; -y) $.

Координаты исходных точек:

• $ A(5; 3) $
• $ B(2; -6) $
• $ C(-8; 5) $
• $ E(-6; -4) $

Теперь найдем симметричные точки для каждого случая.

Для точки A(5; 3)

оси x: Находим точку $ A_1 $, симметричную точке A относительно оси x. Абсцисса остается без изменений, а ордината меняет знак: $ (5; -3) $.
Ответ: $ A_1(5; -3) $.

оси y: Находим точку $ A_2 $, симметричную точке A относительно оси y. Ордината остается без изменений, а абсцисса меняет знак: $ (-5; 3) $.
Ответ: $ A_2(-5; 3) $.

центра: Находим точку $ A_3 $, симметричную точке A относительно центра координат. Обе координаты меняют знак: $ (-5; -3) $.
Ответ: $ A_3(-5; -3) $.

Для точки B(2; -6)

оси x: Симметричная точка имеет координаты $ (2; -(-6)) $.
Ответ: $ (2; 6) $.

оси y: Симметричная точка имеет координаты $ (-2; -6) $.
Ответ: $ (-2; -6) $.

центра: Симметричная точка имеет координаты $ (-2; -(-6)) $.
Ответ: $ (-2; 6) $.

Для точки C(-8; 5)

оси x: Симметричная точка имеет координаты $ (-8; -5) $.
Ответ: $ (-8; -5) $.

оси y: Симметричная точка имеет координаты $ (-(-8); 5) $.
Ответ: $ (8; 5) $.

центра: Симметричная точка имеет координаты $ (-(-8); -5) $.
Ответ: $ (8; -5) $.

Для точки E(-6; -4)

оси x: Симметричная точка имеет координаты $ (-6; -(-4)) $.
Ответ: $ (-6; 4) $.

оси y: Симметричная точка имеет координаты $ (-(-6); -4) $.
Ответ: $ (6; -4) $.

центра: Симметричная точка имеет координаты $ (-(-6); -(-4)) $.
Ответ: $ (6; 4) $.

Итоговая таблица

Занесем полученные результаты в таблицу: