Страница 56 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

115. Опишите на алгебраическом языке множество точек прямоугольника $ABCD$. Постройте прямоугольники, симметричные данному относительно оси абсцисс, оси ординат и начала координат. Опишите их на алгебраическом языке.

Прямоугольник $ABCD$
Координаты вершин: $A(-8, 1)$, $B(-8, 5)$, $C(-4, 5)$, $D(-4, 1)$.
Множество точек: $ \{(x, y) \mid -8 \le x \le -4, 1 \le y \le 5 \} $

Прямоугольник, симметричный относительно оси абсцисс (оси $x$)
(Трансформация: $(x, y) \to (x, -y)$)
Координаты вершин: $A'(-8, -1)$, $B'(-8, -5)$, $C'(-4, -5)$, $D'(-4, -1)$.
Множество точек: $ \{(x, y) \mid -8 \le x \le -4, -5 \le y \le -1 \} $

Прямоугольник, симметричный относительно оси ординат (оси $y$)
(Трансформация: $(x, y) \to (-x, y)$)
Координаты вершин: $A''(8, 1)$, $B''(8, 5)$, $C''(4, 5)$, $D''(4, 1)$.
Множество точек: $ \{(x, y) \mid 4 \le x \le 8, 1 \le y \le 5 \} $

Прямоугольник, симметричный относительно начала координат
(Трансформация: $(x, y) \to (-x, -y)$)
Координаты вершин: $A'''(8, -1)$, $B'''(8, -5)$, $C'''(4, -5)$, $D'''(4, -1)$.
Множество точек: $ \{(x, y) \mid 4 \le x \le 8, -5 \le y \le -1 \} $

Первым шагом определим координаты вершин исходного прямоугольника ABCD, используя предоставленный график. Вершины имеют следующие координаты: A(-7, 2), B(-7, 5), C(-3, 5) и D(-3, 2).

Множество всех точек $(x, y)$, принадлежащих этому прямоугольнику (включая его границы), можно описать с помощью системы неравенств. Абсцисса $x$ любой точки прямоугольника находится в пределах от -7 до -3, а ордината $y$ — в пределах от 2 до 5.

Алгебраически это записывается так:

Ответ: $\begin{cases} -7 \le x \le -3 \\ 2 \le y \le 5 \end{cases}$

Прямоугольник, симметричный данному относительно оси абсцисс

При симметричном отображении относительно оси абсцисс (оси Ox) каждая точка $(x, y)$ переходит в точку $(x, -y)$. Это означает, что координата $x$ остается без изменений, а координата $y$ меняет свой знак на противоположный.

Найдем координаты вершин нового прямоугольника A₁B₁C₁D₁:

• A(-7, 2) → A₁(-7, -2)
• B(-7, 5) → B₁(-7, -5)
• C(-3, 5) → C₁(-3, -5)
• D(-3, 2) → D₁(-3, -2)

Диапазон абсцисс для нового прямоугольника останется прежним: $-7 \le x \le -3$. Для ординат исходный диапазон был $2 \le y \le 5$. После смены знака получаем $-5 \le y \le -2$.

Ответ: $\begin{cases} -7 \le x \le -3 \\ -5 \le y \le -2 \end{cases}$

Прямоугольник, симметричный данному относительно оси ординат

При симметричном отображении относительно оси ординат (оси Oy) каждая точка $(x, y)$ переходит в точку $(-x, y)$. Координата $y$ остается без изменений, а координата $x$ меняет свой знак.

Найдем координаты вершин нового прямоугольника A₂B₂C₂D₂:

• A(-7, 2) → A₂(7, 2)
• B(-7, 5) → B₂(7, 5)
• C(-3, 5) → C₂(3, 5)
• D(-3, 2) → D₂(3, 2)

Для нового прямоугольника исходный диапазон абсцисс $-7 \le x \le -3$ превратится в $3 \le x \le 7$. Диапазон ординат не изменится: $2 \le y \le 5$.

Ответ: $\begin{cases} 3 \le x \le 7 \\ 2 \le y \le 5 \end{cases}$

Прямоугольник, симметричный данному относительно начала координат

При симметричном отображении относительно начала координат (точки O(0,0)) каждая точка $(x, y)$ переходит в точку $(-x, -y)$. Обе координаты меняют свой знак на противоположный.

Найдем координаты вершин нового прямоугольника A₃B₃C₃D₃:

• A(-7, 2) → A₃(7, -2)
• B(-7, 5) → B₃(7, -5)
• C(-3, 5) → C₃(3, -5)
• D(-3, 2) → D₃(3, -2)

Диапазон абсцисс изменится на $3 \le x \le 7$. Диапазон ординат изменится на $-5 \le y \le -2$.

Ответ: $\begin{cases} 3 \le x \le 7 \\ -5 \le y \le -2 \end{cases}$