Номер 148, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 148, страница 70.

Условие.

148. Возведите в степень дробь.

$(\frac{a^3}{b^2})^4$ = ......., $(\frac{3}{x^5})^3$ = ......., $(\frac{0,1x^2}{y^3})^4$ = .......

Решение.

Решение 2.

$(\frac{a^3}{b^2})^4$
Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Это соответствует правилу $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$.
Применим это правило к нашему выражению: $(\frac{a^3}{b^2})^4 = \frac{(a^3)^4}{(b^2)^4}$.
Далее воспользуемся свойством степени: при возведении степени в степень их показатели перемножаются, то есть $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Возводим в степень числитель: $(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$.
Возводим в степень знаменатель: $(b^2)^4 = b^{2 \cdot 4} = b^8$.
Таким образом, получаем итоговый результат:
$\frac{a^{12}}{b^8}$.
Ответ: $\frac{a^{12}}{b^8}$

$(\frac{3}{x^5})^3$
Для возведения дроби в степень, возводим в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель. Правило: $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$.
$(\frac{3}{x^5})^3 = \frac{3^3}{(x^5)^3}$.
Вычислим значение числителя: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(x^5)^3 = x^{5 \cdot 3} = x^{15}$.
Объединим полученные части:
$\frac{27}{x^{15}}$.
Ответ: $\frac{27}{x^{15}}$

$(\frac{0,1x^2}{y^3})^4$
Применим правило возведения дроби в степень $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$:
$(\frac{0,1x^2}{y^3})^4 = \frac{(0,1x^2)^4}{(y^3)^4}$.
Теперь рассмотрим числитель и знаменатель по отдельности.
Для числителя используем правило возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$: $(0,1x^2)^4 = (0,1)^4 \cdot (x^2)^4$.
Вычислим $(0,1)^4 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,0001$.
Применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(x^2)^4 = x^{2 \cdot 4} = x^8$.
Значит, числитель равен $0,0001x^8$.
Для знаменателя применим то же правило возведения степени в степень: $(y^3)^4 = y^{3 \cdot 4} = y^{12}$.
Собираем итоговую дробь:
$\frac{0,0001x^8}{y^{12}}$.
Ответ: $\frac{0,0001x^8}{y^{12}}$