Номер 176, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

7. Многочлены - номер 176, страница 80.

Условие.

176. а) $x^2 - x = (x^2 - .....) + (..... - x) = ...............$

б) $a + 1 = (........) + (........) = ...............$

в) $x + y = ...............$

г) $a^2 - b^2 = ...............$

Решение.

Решение 2.

а) Данное задание демонстрирует метод разложения на множители путем добавления и вычитания одинакового слагаемого. Цель — получить выражения, которые можно сгруппировать и вынести общий множитель.

Исходное выражение: $x^2 - x$.

Чтобы заполнить пропуски в выражении $(x^2 - \text{....}) + (\text{....} - x)$, нужно найти такое число или выражение, которое при вычитании из $x^2$ и прибавлении к $-x$ (или наоборот) поможет в дальнейшем разложении. Удобно использовать 1, так как $x^2 - 1$ — это разность квадратов.

Добавим и вычтем 1: $x^2 - x = x^2 - 1 + 1 - x$.

Теперь сгруппируем слагаемые согласно шаблону: $(x^2 - 1) + (1 - x)$.

Далее, разложим полученные группы на множители. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для первой скобки: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Во второй скобке вынесем минус: $1 - x = -(x-1)$.

Выражение принимает вид: $(x-1)(x+1) - (x-1)$.

Теперь можно вынести общий множитель $(x-1)$:

$(x-1) \cdot ((x+1) - 1) = (x-1) \cdot (x) = x(x-1)$.

Ответ: $x^2 - x = (x^2 - 1) + (1 - x) = x(x-1)$.

б) В этом задании требуется представить бином $a+1$ в виде суммы двух слагаемых в скобках. В отличие от предыдущего примера, здесь нет очевидного способа для нетривиального разложения на множители.

Самый простой способ выполнить задание — это разделить бином на его составляющие одночлены: $a$ и $1$.

Таким образом, мы можем записать: $(a) + (1)$.

Результат сложения этих слагаемых равен исходному выражению: $a+1$.

Ответ: $a + 1 = (a) + (1) = a+1$.

в) Выражение $x+y$ представляет собой сумму двух различных переменных. Такой многочлен называется простым (или неприводимым), так как его нельзя разложить на множители с целыми или рациональными коэффициентами. Он уже находится в своей простейшей форме.

Ответ: $x + y = x+y$.

г) Выражение $a^2 - b^2$ — это формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов".

Согласно этой формуле, разность квадратов двух выражений равна произведению их разности на их сумму.

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Ответ: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.