Номер 177, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

7. Многочлены - номер 177, страница 81.

Условие.

177. Представьте трехчлен в виде суммы и в виде разности двух каких-либо двучленов.

a) $x^2 + 2x + 1 = (x^2 + x) + (............)$ ............

$x^2 + 2x + 1 = (............) - (............)$ ............

б) $5y^3 - y - 4 = (............) + (............)$ ............

$5y^3 - y - 4 = (............) + (............)$ ............

Решение.

Решение 2.

a)

Необходимо представить трехчлен $x^2 + 2x + 1$ в виде суммы и в виде разности двух двучленов.

Представление в виде суммы:

В задании предложен шаблон: $x^2 + 2x + 1 = (x^2 + x) + (........)$. Чтобы найти второй двучлен, вычтем из исходного трехчлена первый двучлен:

$(x^2 + 2x + 1) - (x^2 + x) = x^2 + 2x + 1 - x^2 - x = (x^2 - x^2) + (2x - x) + 1 = x + 1$.

Таким образом, второй двучлен — это $(x + 1)$. Проверим: $(x^2 + x) + (x + 1) = x^2 + x + x + 1 = x^2 + 2x + 1$.

Представление в виде разности:

Нужно найти два двучлена, разность которых равна $x^2 + 2x + 1$. Это можно сделать разными способами. Например, прибавим и вычтем одночлен $x$, а затем сгруппируем члены:

$x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 2x + x) - x + 1 = (x^2 + 3x) - (x - 1)$.

При раскрытии скобок $(x - 1)$ знаки меняются на противоположные, и мы получаем $x^2 + 3x - x + 1 = x^2 + 2x + 1$. Выражения $(x^2 + 3x)$ и $(x - 1)$ являются двучленами.

Ответ:
$x^2 + 2x + 1 = (x^2 + x) + (x + 1)$
$x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 3x) - (x - 1)$

б)

Необходимо представить трехчлен $5y^3 - y - 4$ в виде суммы и в виде разности двух двучленов. В условии задачи для этого пункта допущена опечатка, и оба раза предлагается найти сумму. Будем следовать общей постановке задачи и найдем и сумму, и разность.

Представление в виде суммы:

Чтобы получить сумму двух двучленов, можно, например, разбить свободный член $-4$ на два слагаемых: $-4 = -1 - 3$. Тогда:

$5y^3 - y - 4 = 5y^3 - y - 1 - 3 = (5y^3 - 1) + (-y - 3)$.

Выражения $(5y^3 - 1)$ и $(-y - 3)$ являются двучленами. Проверка: $(5y^3 - 1) - y - 3 = 5y^3 - y - 4$.

Представление в виде разности:

Чтобы получить разность двух двучленов, можно прибавить и вычесть какой-либо одночлен. Например, прибавим и вычтем $3y$ и выполним группировку:

$5y^3 - y - 4 = 5y^3 - y + 3y - 3y - 4 = (5y^3 + 2y) - 3y - y - 4$. Этот путь усложняет. Попробуем иначе. Возьмем первый двучлен $(5y^3 + y)$, тогда второй должен быть таким, чтобы разность была равна исходному трехчлену.

$(5y^3 + y) - (?) = 5y^3 - y - 4$

$? = (5y^3 + y) - (5y^3 - y - 4) = 5y^3 + y - 5y^3 + y + 4 = 2y + 4$.

Значит, искомое представление: $(5y^3 + y) - (2y + 4)$. Выражения $(5y^3 + y)$ и $(2y + 4)$ являются двучленами.

Ответ:
$5y^3 - y - 4 = (5y^3 - 1) + (-y - 3)$
$5y^3 - y - 4 = (5y^3 + y) - (2y + 4)$