Страница 85 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

Представьте произведение в виде многочлена (191–193).

191. а) $(a + 1)(a + 2) = a \cdot a + a \cdot 2 + 1 \cdot a + 1 \cdot 2 = ...$

б) $(x - 2)(x + 3) = ...$

в) $(y + 1)(y - 4) = ...$

г) $(m - 5)(m - 2) = ...$

а) Чтобы представить произведение $(a + 1)(a + 2)$ в виде многочлена, нужно каждый член первого двучлена $(a + 1)$ умножить на каждый член второго двучлена $(a + 2)$ и сложить полученные произведения. В примере уже показано начало этого процесса:
$(a + 1)(a + 2) = a \cdot a + a \cdot 2 + 1 \cdot a + 1 \cdot 2$
Теперь выполним умножение в каждом слагаемом:
$a \cdot a = a^2$
$a \cdot 2 = 2a$
$1 \cdot a = a$
$1 \cdot 2 = 2$
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$a^2 + 2a + a + 2$
Далее приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $a$ в первой степени):
$2a + a = 3a$
Таким образом, окончательный вид многочлена:
$a^2 + 3a + 2$
Ответ: $a^2 + 3a + 2$

б) Для раскрытия скобок в выражении $(x - 2)(x + 3)$ воспользуемся тем же правилом: каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. Важно правильно обращаться со знаками.
$(x - 2)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 + (-2) \cdot x + (-2) \cdot 3$
Выполним умножение:
$x \cdot x = x^2$
$x \cdot 3 = 3x$
$(-2) \cdot x = -2x$
$(-2) \cdot 3 = -6$
Соберем все вместе:
$x^2 + 3x - 2x - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$3x - 2x = x$
Получаем многочлен:
$x^2 + x - 6$
Ответ: $x^2 + x - 6$

в) Представим произведение $(y + 1)(y - 4)$ в виде многочлена.
$(y + 1)(y - 4) = y \cdot y + y \cdot (-4) + 1 \cdot y + 1 \cdot (-4)$
Выполним умножение:
$y \cdot y = y^2$
$y \cdot (-4) = -4y$
$1 \cdot y = y$
$1 \cdot (-4) = -4$
Сложим полученные члены:
$y^2 - 4y + y - 4$
Приведем подобные слагаемые:
$-4y + y = -3y$
В результате получаем:
$y^2 - 3y - 4$
Ответ: $y^2 - 3y - 4$

г) Представим произведение $(m - 5)(m - 2)$ в виде многочлена.
$(m - 5)(m - 2) = m \cdot m + m \cdot (-2) + (-5) \cdot m + (-5) \cdot (-2)$
Выполним умножение, уделяя особое внимание знакам:
$m \cdot m = m^2$
$m \cdot (-2) = -2m$
$(-5) \cdot m = -5m$
$(-5) \cdot (-2) = 10$ (произведение двух отрицательных чисел положительно)
Сложим все члены:
$m^2 - 2m - 5m + 10$
Приведем подобные слагаемые:
$-2m - 5m = -7m$
Окончательный вид многочлена:
$m^2 - 7m + 10$
Ответ: $m^2 - 7m + 10$

192. a) $(2k - 1)(k + 2) = $

б) $(3b - 4)(4b - 3) = $

в) $(5n + 1)(4n - 3) = $

г) $(9c + 5)(7c + 2) = $

а) Чтобы умножить два двучлена, нужно каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго, а затем сложить полученные произведения. Этот метод также называют «правилом фонтанчика».

Применим это правило к выражению $(2k - 1)(k + 2)$:

$(2k - 1)(k + 2) = 2k \cdot k + 2k \cdot 2 - 1 \cdot k - 1 \cdot 2$

Выполним умножение и получим:

$2k^2 + 4k - k - 2$

Далее, приведем подобные слагаемые (члены с переменной $k$ в первой степени):

$2k^2 + (4k - k) - 2 = 2k^2 + 3k - 2$

Ответ: $2k^2 + 3k - 2$

б) Аналогично раскроем скобки в выражении $(3b - 4)(4b - 3)$:

$(3b - 4)(4b - 3) = 3b \cdot 4b + 3b \cdot (-3) - 4 \cdot 4b - 4 \cdot (-3) = 12b^2 - 9b - 16b + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$12b^2 + (-9b - 16b) + 12 = 12b^2 - 25b + 12$

Ответ: $12b^2 - 25b + 12$

в) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в выражении $(5n + 1)(4n - 3)$:

$(5n + 1)(4n - 3) = 5n \cdot 4n + 5n \cdot (-3) + 1 \cdot 4n + 1 \cdot (-3) = 20n^2 - 15n + 4n - 3$

Приведение подобных слагаемых дает:

$20n^2 + (-15n + 4n) - 3 = 20n^2 - 11n - 3$

Ответ: $20n^2 - 11n - 3$

г) Выполним те же действия для выражения $(9c + 5)(7c + 2)$:

$(9c + 5)(7c + 2) = 9c \cdot 7c + 9c \cdot 2 + 5 \cdot 7c + 5 \cdot 2 = 63c^2 + 18c + 35c + 10$

Приведем подобные слагаемые:

$63c^2 + (18c + 35c) + 10 = 63c^2 + 53c + 10$

Ответ: $63c^2 + 53c + 10$

193. a) $(x - y)(x + y) = \ldots$

б) $(a + b)(5a - 6b) = \ldots$

в) $(7t + k)(t + 7k) = \ldots$

г) $(2m - 3n)(2m - 3n) = \ldots$

а)

Данное выражение является произведением разности и суммы двух выражений. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения, известной как "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = y$. Применяя формулу, получаем:

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$

Также можно раскрыть скобки, перемножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(x - y)(x + y) = x \cdot x + x \cdot y - y \cdot x - y \cdot y = x^2 + xy - xy - y^2 = x^2 - y^2$

Ответ: $x^2 - y^2$

б)

Для раскрытия скобок необходимо каждый член первого многочлена $(a + b)$ умножить на каждый член второго многочлена $(5a - 6b)$ и сложить полученные произведения.

$(a + b)(5a - 6b) = a \cdot 5a + a \cdot (-6b) + b \cdot 5a + b \cdot (-6b)$

Выполним умножение:

$5a^2 - 6ab + 5ab - 6b^2$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $ab$):

$-6ab + 5ab = -ab$

Итоговое выражение:

$5a^2 - ab - 6b^2$

Ответ: $5a^2 - ab - 6b^2$

в)

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$(7t + k)(t + 7k) = 7t \cdot t + 7t \cdot 7k + k \cdot t + k \cdot 7k$

Выполним умножение:

$7t^2 + 49tk + kt + 7k^2$

Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $tk$):

$49tk + kt = 50tk$

Итоговое выражение:

$7t^2 + 50tk + 7k^2$

Ответ: $7t^2 + 50tk + 7k^2$

г)

Данное выражение является произведением двух одинаковых многочленов, что равносильно возведению этого многочлена в квадрат: $(2m - 3n)(2m - 3n) = (2m - 3n)^2$.

Воспользуемся формулой "квадрат разности": $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 2m$ и $b = 3n$.

$(2m - 3n)^2 = (2m)^2 - 2 \cdot (2m) \cdot (3n) + (3n)^2$

Выполним вычисления:

$4m^2 - 12mn + 9n^2$

Ответ: $4m^2 - 12mn + 9n^2$