Страница 84 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

186. а) $n(m^2 + m^2n + 1) - m(n^2m + mn + 1) = ...$

б) $-2x(x^2 - 2x + 3) + 3x(x^2 - 3x + 2) = ...$

в) $-4(a^5 - 5) - a^2(a - 4) + a(a^2 - a) = ...$

г) $c(a - b) + a(b - c) + b(c - a) = ...$

а) Чтобы упростить выражение $n(m^2 + m^2n + 1) - m(n^2m + mn + 1)$, нужно раскрыть скобки, умножив каждый член в скобках на множитель перед ними, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскрываем первую скобку: $n \cdot m^2 + n \cdot m^2n + n \cdot 1 = nm^2 + m^2n^2 + n$.

2. Раскрываем вторую скобку, учитывая знак минус перед $m$: $-m \cdot n^2m - m \cdot mn - m \cdot 1 = -m^2n^2 - m^2n - m$.

3. Складываем полученные выражения: $nm^2 + m^2n^2 + n - m^2n^2 - m^2n - m$.

4. Группируем и сокращаем подобные члены: $(nm^2 - m^2n) + (m^2n^2 - m^2n^2) + n - m$.
Так как $nm^2$ и $m^2n$ являются одинаковыми членами (от перестановки множителей произведение не меняется), их разность равна нулю: $nm^2 - m^2n = 0$.
Аналогично, $m^2n^2 - m^2n^2 = 0$.
В итоге остается $n - m$.

Ответ: $n - m$.

б) Упростим выражение $-2x(x^2 - 2x + 3) + 3x(x^2 - 3x + 2)$, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Раскрываем первую скобку: $-2x \cdot x^2 - 2x \cdot (-2x) - 2x \cdot 3 = -2x^3 + 4x^2 - 6x$.

2. Раскрываем вторую скобку: $3x \cdot x^2 + 3x \cdot (-3x) + 3x \cdot 2 = 3x^3 - 9x^2 + 6x$.

3. Складываем результаты: $(-2x^3 + 4x^2 - 6x) + (3x^3 - 9x^2 + 6x)$.

4. Приводим подобные слагаемые: $(-2x^3 + 3x^3) + (4x^2 - 9x^2) + (-6x + 6x) = x^3 - 5x^2 + 0 = x^3 - 5x^2$.

Ответ: $x^3 - 5x^2$.

в) Упростим выражение $-4(a^5 - 5) - a^2(a - 4) + a(a^2 - a)$, последовательно раскрыв все скобки.

1. Раскрываем первую скобку: $-4 \cdot a^5 - 4 \cdot (-5) = -4a^5 + 20$.

2. Раскрываем вторую скобку: $-a^2 \cdot a - a^2 \cdot (-4) = -a^3 + 4a^2$.

3. Раскрываем третью скобку: $a \cdot a^2 + a \cdot (-a) = a^3 - a^2$.

4. Суммируем все полученные части: $-4a^5 + 20 - a^3 + 4a^2 + a^3 - a^2$.

5. Группируем и приводим подобные слагаемые: $-4a^5 + (-a^3 + a^3) + (4a^2 - a^2) + 20 = -4a^5 + 0 + 3a^2 + 20 = -4a^5 + 3a^2 + 20$.

Ответ: $-4a^5 + 3a^2 + 20$.

г) Упростим выражение $c(a - b) + a(b - c) + b(c - a)$, раскрыв скобки и приведя подобные.

1. Раскрываем скобки: $(c \cdot a - c \cdot b) + (a \cdot b - a \cdot c) + (b \cdot c - b \cdot a) = ac - bc + ab - ac + bc - ba$.

2. Группируем подобные слагаемые. Учитываем, что $ac = ca$, $bc = cb$, $ab = ba$.
$(ac - ac) + (ab - ba) + (-bc + bc) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

187. Составьте два различных выражения для нахождения площади прямоугольника ABCD.

S = $(a + b)c$

S = $ac + bc$

S = Для нахождения площади всего прямоугольника $ABCD$ можно рассматривать его как единую фигуру. Длина этого прямоугольника равна сумме длин его частей, то есть $a + b$. Ширина прямоугольника равна $c$. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину.
Ответ: $(a + b)c$

S = Другой способ найти площадь прямоугольника $ABCD$ — это сложить площади двух меньших прямоугольников, на которые он разделен. Первый прямоугольник имеет стороны $a$ и $c$, его площадь равна $ac$. Второй прямоугольник имеет стороны $b$ и $c$, его площадь равна $bc$. Общая площадь $S$ равна сумме площадей этих двух прямоугольников.
Ответ: $ac + bc$

188. Составьте различные выражения для нахождения площади фигуры.

Упростите их.

Вариант 1 (разделение фигуры на два прямоугольника вертикальной линией): $S = ac + x b$
(Где $x$ - ширина левой части фигуры, не обозначенная переменными $a, b, c, d$ на рисунке)

Вариант 2 (разделение фигуры на два прямоугольника горизонтальной линией): $S = (x+a)(b-d) + xd$
$S = xb - xd + ab - ad + xd$
$S = xb + ab - ad$
(Где $x$ - ширина левой части фигуры, не обозначенная переменными $a, b, c, d$ на рисунке)

Для нахождения площади данной фигуры можно составить несколько различных выражений, используя разные способы разбиения фигуры или метод вычитания.

Способ 1: Сложение площадей двух прямоугольников (вертикальное разделение)

Мысленно разделим фигуру на два прямоугольника вертикальной линией, как это предложено пунктиром на рисунке. В результате мы получим два прямоугольника:

• Левый прямоугольник, стороны которого равны $b$ и $d$. Его площадь $S_1 = b \cdot d$.
• Правый прямоугольник, стороны которого равны $c$ и $a$. Его площадь $S_2 = c \cdot a$.

Общая площадь фигуры $S$ равна сумме площадей этих двух прямоугольников:

$S = S_1 + S_2 = bd + ac$

Данное выражение уже является упрощенным.

Ответ: Выражение для площади: $S = bd + ac$.

Способ 2: Сложение площадей двух прямоугольников (горизонтальное разделение)

Разделим фигуру горизонтальной линией, которая является продолжением верхнего отрезка правого прямоугольника. В этом случае мы получим:

• Верхний прямоугольник, который имеет ширину $d$ и высоту, равную разности высот $(b-c)$. Его площадь $S_1 = d \cdot (b-c)$.
• Нижний (большой) прямоугольник, который имеет высоту $c$ и ширину, равную сумме ширин $(a+d)$. Его площадь $S_2 = c \cdot (a+d)$.

Общая площадь фигуры $S$ равна сумме их площадей:

$S = S_1 + S_2 = d(b-c) + c(a+d)$

Теперь упростим полученное выражение, раскрыв скобки:

$S = db - dc + ca + cd$

Взаимно уничтожаем слагаемые $-dc$ и $+cd$:

$S = bd + ac$

Ответ: Выражение для площади: $S = d(b-c) + c(a+d)$. Упрощенная форма: $S = bd + ac$.

Способ 3: Метод вычитания площади

Достроим исходную фигуру до большого прямоугольника. Его размеры будут:

• Высота: $b$.
• Ширина: $(a+d)$.

Площадь этого большого прямоугольника $S_{большой} = b \cdot (a+d)$.

Чтобы получить исходную фигуру, из этого большого прямоугольника нужно вычесть (мысленно "вырезать") маленький прямоугольник, который находится в правом нижнем углу. Его размеры:

• Ширина: $a$.
• Высота: $(b-c)$.

Площадь вычитаемого прямоугольника $S_{малый} = a \cdot (b-c)$.

Площадь исходной фигуры $S$ равна разности площадей большого и вычитаемого прямоугольников:

$S = S_{большой} - S_{малый} = b(a+d) - a(b-c)$

Упростим это выражение:

$S = (ba + bd) - (ab - ac) = ba + bd - ab + ac$

Взаимно уничтожаем слагаемые $ba$ и $-ab$:

$S = bd + ac$

Ответ: Выражение для площади: $S = b(a+d) - a(b-c)$. Упрощенная форма: $S = bd + ac$.

189. Запишите выражение для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника. Представьте его в виде многочлена.

$S = 3a + 5b + 15$

Каждый член многочлена выражает площадь некоторого прямоугольника. Покажите это на рисунке.

Запишите выражение для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника. Представьте его в виде многочлена.

Чтобы найти площадь заштрихованной части ($S$), нужно из площади всего большого прямоугольника вычесть площадь незаштрихованной части (малого прямоугольника).

1. Большой прямоугольник имеет стороны длиной $(a+5)$ и $(b+3)$. Его площадь ($S_{большого}$) равна произведению сторон:
$S_{большого} = (a+5)(b+3)$.

2. Незаштрихованный прямоугольник имеет стороны длиной $a$ и $b$. Его площадь ($S_{незаштрих.}$) равна:
$S_{незаштрих.} = a \cdot b$.

3. Площадь заштрихованной части $S$ равна разности этих площадей:
$S = S_{большого} - S_{незаштрих.} = (a+5)(b+3) - ab$.

4. Теперь представим полученное выражение в виде многочлена. Для этого раскроем скобки:
$S = (a \cdot b + a \cdot 3 + 5 \cdot b + 5 \cdot 3) - ab$
$S = (ab + 3a + 5b + 15) - ab$.

5. Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:
$S = ab - ab + 3a + 5b + 15$
$S = 3a + 5b + 15$.

Ответ: $S = 3a + 5b + 15$

Каждый член многочлена выражает площадь некоторого прямоугольника. Покажите это на рисунке.

Многочлен $S = 3a + 5b + 15$ состоит из трех членов. Каждый из них представляет собой площадь одного из прямоугольников, на которые можно разделить заштрихованную L-образную фигуру. Если мы посмотрим на рисунок, то увидим, что заштрихованную область можно разбить на три части:

1. Член $3a$ — это площадь верхнего левого заштрихованного прямоугольника. Его стороны равны $3$ и $a$. Площадь: $S_1 = 3 \cdot a = 3a$.

2. Член $5b$ — это площадь правого вертикального заштрихованного прямоугольника. Его стороны равны $5$ и $b$. Площадь: $S_2 = 5 \cdot b = 5b$.

3. Член $15$ — это площадь верхнего правого заштрихованного прямоугольника. Его стороны равны $5$ и $3$. Площадь: $S_3 = 5 \cdot 3 = 15$.

Сумма площадей этих трех прямоугольников дает общую площадь заштрихованной фигуры: $S = S_1 + S_2 + S_3 = 3a + 5b + 15$, что полностью соответствует полученному многочлену.

Ответ: Члены многочлена $3a$, $5b$ и $15$ выражают площади трех прямоугольников, на которые можно разделить заштрихованную фигуру: прямоугольника со сторонами $a$ и $3$, прямоугольника со сторонами $b$ и $5$, и прямоугольника со сторонами $3$ и $5$ соответственно.

190. Площадь заштрихованного прямоугольника составляет половину площади прямоугольника со сторонами $a$ и $h$.

$S = \frac{1}{2}ah.$

Воспользовавшись этим, запишите выражение для нахождения площади заштрихованной фигуры и упростите его.

а) $S = ah$

б) $S = 3a^2$

а)

Чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, можно из площади всего большого прямоугольника вычесть площади двух незаштрихованных треугольников, расположенных по бокам.

1. Весь большой прямоугольник имеет высоту $h$ и ширину, равную сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $(a+b)$. Его площадь равна $S_{прямоуг} = (a+b)h$.

2. По бокам находятся два одинаковых незаштрихованных прямоугольных треугольника. Основание каждого из них равно $b$, а высота равна $h$.

3. Используя формулу из условия ($S = \frac{1}{2}ah$), площадь одного такого треугольника составляет $S_{треуг} = \frac{1}{2}bh$.

4. Суммарная площадь двух незаштрихованных треугольников равна $2 \cdot S_{треуг} = 2 \cdot (\frac{1}{2}bh) = bh$.

5. Площадь заштрихованной фигуры $S_a$ — это разность между площадью большого прямоугольника и суммарной площадью двух треугольников. Запишем выражение для площади:

$S_a = S_{прямоуг} - 2 \cdot S_{треуг} = (a+b)h - bh$

6. Теперь упростим полученное выражение:

$S_a = ah + bh - bh = ah$

Ответ: $ah$

б)

Заштрихованная фигура состоит из центрального квадрата и четырех одинаковых треугольников, примыкающих к его сторонам.

1. Центральная фигура — это квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $S_{квадрат} = a \cdot a = a^2$.

2. К каждой стороне квадрата присоединен треугольник. Основание каждого треугольника равно стороне квадрата, то есть $a$. Судя по обозначениям на чертеже, высота каждого треугольника также равна $a$.

3. Используя формулу для площади треугольника, найдем площадь одного из них: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$.

4. Общая площадь заштрихованной фигуры $S_б$ равна сумме площади квадрата и площадей четырех таких треугольников. Запишем выражение для площади:

$S_б = S_{квадрат} + 4 \cdot S_{треуг} = a^2 + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}a^2\right)$

5. Упростим это выражение:

$S_б = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

Ответ: $3a^2$