Номер 202, страница 88 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

7. Многочлены - номер 202, страница 88.

Условие.

202. Заполните пропуски.

а) $(a + \ldots)^2 = \ldots + \ldots + b^2$

б) $(2y + \ldots)^2 = \ldots + 4y + \ldots$

в) $(\ldots - \ldots)^2 = p^2 - \ldots + 4q^2$

г) $(\ldots - \ldots)^2 = 4x^2 - 12xy + \ldots$

Решение.

Решение 2.

Для решения этих задач используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

а) В выражении $(a + ......)^2 = ...... + ...... + b^2$ мы имеем дело с формулой квадрата суммы.
Первое слагаемое в скобках, которое мы обозначим как $x$, равно $a$.
Последний член в разложенном выражении, $b^2$, соответствует $y^2$ в формуле. Отсюда следует, что второе слагаемое в скобках, $y$, равно $b$.
Теперь заполним остальные пропуски:
1. Первый пропуск в правой части — это квадрат первого слагаемого: $x^2 = a^2$.
2. Второй пропуск в правой части — это удвоенное произведение первого и второго слагаемых: $2xy = 2 \cdot a \cdot b = 2ab$.
Таким образом, полностью заполненное равенство имеет вид: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Ответ: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

б) В выражении $(2y + ......)^2 = ...... + 4y + ......$ также используется формула квадрата суммы.
Первое слагаемое в скобках, $x$, равно $2y$.
Средний член в правой части, $4y$, соответствует удвоенному произведению $2xy$. Зная $x=2y$, мы можем найти второе слагаемое, которое обозначим как $y_{term}$:
$2 \cdot (2y) \cdot y_{term} = 4y$
$4y \cdot y_{term} = 4y$
Разделив обе части на $4y$ (при условии, что $y \neq 0$), получаем, что второе слагаемое $y_{term}=1$.
Теперь заполним пропуски в правой части:
1. Первый пропуск — это квадрат первого слагаемого: $x^2 = (2y)^2 = 4y^2$.
2. Последний пропуск — это квадрат второго слагаемого: $(y_{term})^2 = 1^2 = 1$.
Полное равенство: $(2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1$.
Ответ: $(2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1$.

в) Выражение $(...... - ......)^2 = p^2 - ...... + 4q^2$ соответствует формуле квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член в правой части, $p^2$, это $x^2$. Значит, первое слагаемое в скобках $x=p$.
Последний член в правой части, $4q^2$, это $y^2$. Значит, второе слагаемое в скобках $y = \sqrt{4q^2} = 2q$.
Теперь заполним оставшиеся пропуски:
1. Первое слагаемое в скобках — $p$.
2. Второе слагаемое в скобках — $2q$.
3. Пропуск в правой части — это удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot p \cdot (2q) = 4pq$.
Полное равенство: $(p - 2q)^2 = p^2 - 4pq + 4q^2$.
Ответ: $(p - 2q)^2 = p^2 - 4pq + 4q^2$.

г) В выражении $(...... - ......)^2 = 4x^2 - 12xy + ......$ применяется формула квадрата разности.
Первый член в правой части, $4x^2$, это квадрат первого слагаемого в скобках. Обозначим его $X$. Тогда $X^2 = 4x^2$, откуда $X=2x$.
Средний член, $-12xy$, это удвоенное произведение слагаемых со знаком минус: $-2XY$. Подставим известное $X=2x$:
$-2 \cdot (2x) \cdot Y = -12xy$
$-4x \cdot Y = -12xy$
Разделив обе части на $-4x$ (при $x \neq 0$), находим второе слагаемое $Y = 3y$.
Теперь заполним пропуски:
1. Первое слагаемое в скобках — $2x$.
2. Второе слагаемое в скобках — $3y$.
3. Последний член в правой части — это квадрат второго слагаемого: $Y^2 = (3y)^2 = 9y^2$.
Полное равенство: $(2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$.
Ответ: $(2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$.