Номер 206, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

7. Многочлены - номер 206, страница 90.

Условие.

206. Составьте выражение для вычисления площади заштрихованной части квадрата.

a) $S = (a+b)^2 - a^2$

б) $S = (a+b)^2 - 4ab$

в) $S = 2a(a+b) - 2a^2$

г) $S = (a+b)^2 - 2ab$

Решение.

Решение 2.

а)

Площадь заштрихованной части можно найти, вычтя площадь малого незаштрихованного квадрата из площади большого квадрата.

Сторона большого квадрата состоит из двух отрезков длиной $a$ и $b$, поэтому его сторона равна $a+b$.

Площадь большого квадрата: $S_{большого} = (a+b)^2$.

Незаштрихованная часть — это квадрат со стороной $a$. Его площадь: $S_{малого} = a^2$.

Площадь заштрихованной части $S$ равна разности их площадей:

$S = S_{большого} - S_{малого} = (a+b)^2 - a^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S = (a^2 + 2ab + b^2) - a^2 = 2ab + b^2$

Ответ: $S = 2ab + b^2$

б)

Большой квадрат имеет сторону, равную $a+b$, и его общая площадь составляет $S_{большого} = (a+b)^2$.

Незаштрихованная область состоит из четырёх одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $b$.

Площадь одного такого прямоугольника равна $ab$.

Суммарная площадь четырёх незаштрихованных прямоугольников: $S_{незаштр.} = 4ab$.

Площадь заштрихованной части $S$ (внутреннего квадрата) равна разности площади большого квадрата и суммарной площади четырёх прямоугольников:

$S = S_{большого} - S_{незаштр.} = (a+b)^2 - 4ab$

Упростим выражение, используя формулу квадрата суммы:

$S = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab = a^2 - 2ab + b^2$

Это выражение является формулой квадрата разности: $S = (a-b)^2$.

Ответ: $S = (a-b)^2$

в)

Внешняя фигура представляет собой квадрат со стороной $a+b$. Его общая площадь равна $S_{большого} = (a+b)^2$.

Незаштрихованная область состоит из двух одинаковых квадратов со стороной $a$. Один расположен в левом нижнем углу, другой — в правом верхнем.

Площадь одного малого квадрата равна $a^2$.

Суммарная площадь двух незаштрихованных квадратов: $S_{незаштр.} = 2a^2$.

Площадь заштрихованной части $S$ находится как разность площади большого квадрата и суммарной площади двух малых квадратов:

$S = S_{большого} - S_{незаштр.} = (a+b)^2 - 2a^2$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$S = (a^2 + 2ab + b^2) - 2a^2 = b^2 + 2ab - a^2$

Ответ: $S = b^2 + 2ab - a^2$

г)

Сторона большого квадрата равна $a+b$, а его площадь составляет $S_{большого} = (a+b)^2$.

Заштрихованная фигура — это квадрат, расположенный внутри большого квадрата. Незаштрихованная область состоит из четырёх одинаковых прямоугольных треугольников по углам.

Катеты каждого треугольника равны $a$ и $b$.

Площадь одного такого треугольника вычисляется по формуле: $S_{треуг.} = \frac{1}{2}ab$.

Суммарная площадь четырёх незаштрихованных треугольников: $S_{незаштр.} = 4 \times S_{треуг.} = 4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab$.

Площадь заштрихованного квадрата $S$ можно найти, вычтя из площади большого квадрата суммарную площадь четырёх треугольников:

$S = S_{большого} - S_{незаштр.} = (a+b)^2 - 2ab$

Упростим полученное выражение:

$S = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab = a^2 + b^2$

(Этот результат также следует из теоремы Пифагора, где площадь заштрихованного квадрата равна сумме квадратов катетов $a$ и $b$).

Ответ: $S = a^2 + b^2$