Страница 101 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

249. a) $a^2 + 2ab + b^2 - c^4 = (a^2 + 2ab + b^2) - (c^2)^2 = \dots$

б) $x^2 + y^2 + 2xy - z^2 = \dots$

в) $x^6 - y^2 - 2zy - z^2 = \dots$

г) $1 - a^2 + 2ac - c^2 = \dots$

а) $a^2 + 2ab + b^2 - c^4$

Для решения сгруппируем первые три члена выражения. Они представляют собой формулу сокращенного умножения — квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Четвертый член $c^4$ можно представить в виде квадрата: $c^4 = (c^2)^2$.

Подставив эти преобразования в исходное выражение, получим разность квадратов:

$(a+b)^2 - (c^2)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a+b$, а $y = c^2$:

$((a+b) - c^2)((a+b) + c^2) = (a+b-c^2)(a+b+c^2)$

Ответ: $(a+b-c^2)(a+b+c^2)$.

б) $x^2 + y^2 + 2xy - z^2$

Сначала изменим порядок членов, чтобы сгруппировать их: $(x^2 + 2xy + y^2) - z^2$.

Выражение в скобках является квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

После подстановки получаем выражение вида:

$(x+y)^2 - z^2$

Это формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+y$, а $b = z$.

Применив формулу, получаем:

$((x+y) - z)((x+y) + z) = (x+y-z)(x+y+z)$

Ответ: $(x+y-z)(x+y+z)$.

в) $x^6 - y^2 - 2zy - z^2$

Сгруппируем последние три члена и вынесем знак минус за скобки:

$x^6 - (y^2 + 2zy + z^2)$

Выражение в скобках — это квадрат суммы: $y^2 + 2zy + z^2 = (y+z)^2$.

Теперь исходное выражение можно записать как:

$x^6 - (y+z)^2$

Представим $x^6$ в виде квадрата: $x^6 = (x^3)^2$. Получаем разность квадратов:

$(x^3)^2 - (y+z)^2$

Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$, а $b = y+z$:

$(x^3 - (y+z))(x^3 + (y+z)) = (x^3-y-z)(x^3+y+z)$

Ответ: $(x^3-y-z)(x^3+y+z)$.

г) $1 - a^2 + 2ac - c^2$

Сгруппируем последние три члена и вынесем минус за скобки:

$1 - (a^2 - 2ac + c^2)$

Выражение в скобках — это квадрат разности: $a^2 - 2ac + c^2 = (a-c)^2$.

Подставим это в выражение:

$1 - (a-c)^2$

Представим $1$ как $1^2$ и получим разность квадратов:

$1^2 - (a-c)^2$

Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = 1$, а $y = a-c$:

$(1 - (a-c))(1 + (a-c)) = (1-a+c)(1+a-c)$

Ответ: $(1-a+c)(1+a-c)$.

250. a)

$a + b + a^2 - b^2 = (a + b) + (a^2 - b^2) = $

б) $ax + ay + x^2 - y^2 = $

В) $a^2 - c^2 - a - c = $

Г) $x - y - 5x^2 + 5y^2 = $

а) Для разложения на множители выражения $a + b + a^2 - b^2$ воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое, как показано в задании:
$(a + b) + (a^2 - b^2)$.
Выражение $a^2 - b^2$ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Применив ее, получаем:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Подставим это разложение в наше выражение:
$(a + b) + (a - b)(a + b)$.
Теперь вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобку:
$(a + b) \cdot 1 + (a - b)(a + b) = (a + b)(1 + (a - b))$.
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(a + b)(1 + a - b)$.
Ответ: $(a + b)(1 + a - b)$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $ax + ay + x^2 - y^2$, сгруппируем слагаемые: первые два и последние два.
$(ax + ay) + (x^2 - y^2)$.
Из первой группы вынесем общий множитель $a$: $a(x + y)$.
Вторая группа является разностью квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Подставим полученные разложения в выражение:
$a(x + y) + (x - y)(x + y)$.
Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобку:
$(x + y)(a + (x - y))$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(x + y)(a + x - y)$.
Ответ: $(x + y)(a + x - y)$.

в) Для разложения на множители выражения $a^2 - c^2 - a - c$ сгруппируем слагаемые.
$(a^2 - c^2) + (-a - c)$.
Чтобы получить общий множитель, вынесем знак минус из второй скобки:
$(a^2 - c^2) - (a + c)$.
Первая группа, $a^2 - c^2$, является разностью квадратов: $(a - c)(a + c)$.
Подставим это в наше выражение:
$(a - c)(a + c) - (a + c)$.
Вынесем за скобку общий множитель $(a + c)$:
$(a + c)((a - c) - 1)$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(a + c)(a - c - 1)$.
Ответ: $(a + c)(a - c - 1)$.

г) Чтобы разложить на множители $x - y - 5x^2 + 5y^2$, применим метод группировки.
$(x - y) + (-5x^2 + 5y^2)$.
Из второй группы вынесем общий множитель $-5$, чтобы получить разность квадратов:
$(x - y) - 5(x^2 - y^2)$.
Выражение $x^2 - y^2$ является разностью квадратов: $(x - y)(x + y)$.
Подставим это в наше выражение:
$(x - y) \cdot 1 - 5(x - y)(x + y)$.
Теперь вынесем за скобку общий множитель $(x - y)$:
$(x - y)(1 - 5(x + y))$.
Раскроем скобки во втором множителе:
$(x - y)(1 - 5x - 5y)$.
Ответ: $(x - y)(1 - 5x - 5y)$.