Номер 4, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Задание 4.

Длина комнаты на 1 м больше ее ширины. Чтобы заменить старый ковер, купили новый, длина и ширина которого на 50 см меньше по длине и ширине по сравнению со старым ковром, который полностью покрывал комнату. Известно, что за новый ковер заплатили на 25500 тг меньше, чем за старый. Найдите измерения комнаты, если цена $1 \text{ м}^2$ ковра – 6000 тг. Выберите правильный ответ.

А) ширина 3 м, длина 4 м;

В) ширина 4 м, длина 5 м;

С) ширина 5 м, длина 6 м;

D) ширина 5,5 м, длина 6,5 м;

Е) ширина 5,8 м, длина 6,8 м.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение, исходя из условий.

Пусть $w$ - ширина комнаты в метрах. Поскольку длина комнаты на 1 м больше ее ширины, длина $l$ будет равна $w + 1$ метров.

Старый ковер полностью покрывал комнату, значит его размеры совпадают с размерами комнаты: ширина $w$ и длина $w+1$. Площадь старого ковра, $S_{старый}$, составляет:

$S_{старый} = l \times w = (w + 1) \times w = w^2 + w$

Размеры нового ковра на 50 см (то есть 0.5 м) меньше по длине и ширине по сравнению со старым ковром. Таким образом, размеры нового ковра:

Ширина нового ковра: $w_{новый} = w - 0.5$ м.

Длина нового ковра: $l_{новый} = (w + 1) - 0.5 = w + 0.5$ м.

Площадь нового ковра, $S_{новый}$, вычисляется как:

$S_{новый} = (w + 0.5)(w - 0.5)$

Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем:

$S_{новый} = w^2 - (0.5)^2 = w^2 - 0.25$

Разница в стоимости ковров составляет 25500 тг. Стоимость одного квадратного метра ковра - 6000 тг. Это означает, что разница в площади ковров, умноженная на цену за 1 м², равна разнице в стоимости.

$(S_{старый} - S_{новый}) \times 6000 = 25500$

Найдем разницу в площади:

$S_{старый} - S_{новый} = (w^2 + w) - (w^2 - 0.25) = w^2 + w - w^2 + 0.25 = w + 0.25$

Теперь подставим это выражение в уравнение стоимости:

$(w + 0.25) \times 6000 = 25500$

Решим это уравнение относительно $w$:

$w + 0.25 = \frac{25500}{6000}$

$w + 0.25 = 4.25$

$w = 4.25 - 0.25$

$w = 4$

Таким образом, ширина комнаты равна 4 метрам. Теперь найдем длину:

$l = w + 1 = 4 + 1 = 5$

Размеры комнаты: ширина 4 м и длина 5 м. Проведем проверку.

Площадь старого ковра: $S_{старый} = 4 \text{ м} \times 5 \text{ м} = 20 \text{ м}^2$.

Стоимость старого ковра: $20 \times 6000 = 120000$ тг.

Размеры нового ковра: ширина $4 - 0.5 = 3.5$ м, длина $5 - 0.5 = 4.5$ м.

Площадь нового ковра: $S_{новый} = 3.5 \text{ м} \times 4.5 \text{ м} = 15.75 \text{ м}^2$.

Стоимость нового ковра: $15.75 \times 6000 = 94500$ тг.

Разница в стоимости: $120000 - 94500 = 25500$ тг.

Полученная разница совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Найденные размеры комнаты соответствуют варианту B).

Ответ: B) ширина 4 м, длина 5 м;