Номер 7.50, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.50. Какой цифрой оканчивается разность $43^{43} - 17^{17}$?

Чтобы найти, какой цифрой оканчивается разность $43^{43} - 17^{17}$, нужно определить последнюю цифру каждого из чисел $43^{43}$ и $17^{17}$ по отдельности, а затем найти последнюю цифру их разности.

Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры его основания. Следовательно, для нахождения последней цифры числа $43^{43}$ достаточно рассмотреть степени числа 3. Выпишем последние цифры для первых нескольких степеней тройки: $3^1$ оканчивается на 3; $3^2$ оканчивается на 9; $3^3$ оканчивается на 7; $3^4$ оканчивается на 1; $3^5$ оканчивается на 3. Видно, что последние цифры повторяются с циклом длиной 4 (последовательность 3, 9, 7, 1). Чтобы найти последнюю цифру числа $3^{43}$, найдем остаток от деления показателя 43 на длину цикла 4. Так как $43 = 4 \times 10 + 3$, остаток равен 3. Это значит, что последняя цифра $3^{43}$ совпадает с третьей цифрой в цикле, то есть равна 7. Таким образом, число $43^{43}$ оканчивается на 7.

Теперь найдем последнюю цифру числа $17^{17}$. Она совпадает с последней цифрой числа $7^{17}$. Выпишем последние цифры для степеней семерки: $7^1$ оканчивается на 7; $7^2$ оканчивается на 9; $7^3$ оканчивается на 3; $7^4$ оканчивается на 1; $7^5$ оканчивается на 7. Здесь последние цифры также повторяются с циклом длиной 4 (последовательность 7, 9, 3, 1). Найдем остаток от деления 17 на 4. Так как $17 = 4 \times 4 + 1$, остаток равен 1. Это значит, что последняя цифра $7^{17}$ совпадает с первой цифрой в цикле, то есть равна 7. Таким образом, число $17^{17}$ оканчивается на 7.

Наконец, найдем последнюю цифру разности. Нам нужно из числа, оканчивающегося на 7, вычесть число, также оканчивающееся на 7. Последняя цифра результата будет такой же, как у разности $7 - 7$, то есть 0.

Ответ: 0.