Номер 7.49, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.49. Какой цифрой оканчивается сумма $1999^{2003}+9991^{2002}$?

Для того чтобы определить, какой цифрой оканчивается сумма $1999^{2003} + 9991^{2002}$, необходимо найти последнюю цифру каждого из слагаемых и затем найти последнюю цифру их суммы.

Найдем последнюю цифру первого слагаемого, $1999^{2003}$. Последняя цифра степени зависит только от последней цифры основания. Основание $1999$ оканчивается на цифру $9$. Рассмотрим, как меняется последняя цифра при возведении $9$ в степень:

$9^1$ оканчивается на $9$.

$9^2 = 81$ оканчивается на $1$.

$9^3 = 729$ оканчивается на $9$.

$9^4 = 6561$ оканчивается на $1$.

Мы видим, что последние цифры степеней числа $9$ циклически повторяются. Если показатель степени нечетный, то последняя цифра — $9$; если четный — то $1$. Поскольку показатель степени $2003$ является нечетным числом, то число $1999^{2003}$ оканчивается на $9$.

Теперь найдем последнюю цифру второго слагаемого, $9991^{2002}$. Основание $9991$ оканчивается на цифру $1$. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на $1$, также оканчивается на $1$. Следовательно, число $9991^{2002}$ оканчивается на $1$.

Наконец, найдем последнюю цифру искомой суммы. Для этого сложим последние цифры слагаемых: $9 + 1 = 10$.

Последняя цифра полученного числа $10$ равна $0$.

Следовательно, сумма $1999^{2003} + 9991^{2002}$ оканчивается на $0$.

Ответ: 0