Номер 7.47, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.47. Найдите последнюю цифру числа:

1) $9^{2003}$;

2) $3^{2003}$;

3) $2^{2003}$,

1) Чтобы найти последнюю цифру числа $9^{2003}$, проследим за последними цифрами степеней числа 9:

$9^1$ оканчивается на 9.

$9^2 = 81$, оканчивается на 1.

$9^3 = 729$, оканчивается на 9.

$9^4 = 6561$, оканчивается на 1.

Мы видим, что последние цифры образуют цикл с периодом 2: (9, 1). Если показатель степени является нечетным числом, то последняя цифра равна 9. Если показатель степени — четное число, то последняя цифра равна 1.

Показатель степени в нашем случае — 2003, что является нечетным числом. Следовательно, последняя цифра числа $9^{2003}$ равна 9.

Ответ: 9

2) Для нахождения последней цифры числа $3^{2003}$, рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 3:

$3^1$ оканчивается на 3.

$3^2 = 9$, оканчивается на 9.

$3^3 = 27$, оканчивается на 7.

$3^4 = 81$, оканчивается на 1.

$3^5 = 243$, оканчивается на 3.

Здесь последние цифры повторяются с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы определить последнюю цифру для $3^{2003}$, необходимо найти остаток от деления показателя степени 2003 на длину цикла, то есть на 4.

Выполним деление с остатком: $2003 = 4 \times 500 + 3$. Остаток равен 3. Это означает, что последняя цифра числа $3^{2003}$ будет такой же, как у третьего члена последовательности, то есть как у $3^3$.

Последняя цифра числа $3^3=27$ равна 7.

Ответ: 7

3) Для определения последней цифры числа $2^{2003}$, рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 2:

$2^1$ оканчивается на 2.

$2^2 = 4$, оканчивается на 4.

$2^3 = 8$, оканчивается на 8.

$2^4 = 16$, оканчивается на 6.

$2^5 = 32$, оканчивается на 2.

Последние цифры степеней числа 2 также образуют цикл длиной 4: (2, 4, 8, 6). Как и в предыдущем пункте, для нахождения искомой цифры нужно найти остаток от деления 2003 на 4.

Мы уже установили, что остаток от деления 2003 на 4 равен 3. Следовательно, последняя цифра числа $2^{2003}$ будет такой же, как у третьего числа в цикле, то есть как у $2^3$.

Последняя цифра числа $2^3=8$ равна 8.

Ответ: 8