Номер 7.46, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.46. Запишите число $2^{2002} \cdot 5^{2003}$ в стандартном виде.

7.46. Требуется записать число $2^{2002} \cdot 5^{2003}$ в стандартном виде. Стандартный вид числа — это его представление в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.

Для получения множителя $10^n$, нам необходимо сгруппировать пары оснований 2 и 5, так как $2 \cdot 5 = 10$. Для этого нужно, чтобы показатели степеней у двойки и пятерки совпадали. В данном выражении показатели степеней различны (2002 и 2003). Выберем наименьший из них, то есть 2002.

Представим множитель с большей степенью, $5^{2003}$, в виде произведения двух множителей, один из которых будет иметь степень 2002. Используем свойство степеней $x^{m+n} = x^m \cdot x^n$:

$5^{2003} = 5^{2002+1} = 5^{2002} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{2002}$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$2^{2002} \cdot 5^{2003} = 2^{2002} \cdot (5 \cdot 5^{2002})$.

Применим коммутативный закон умножения, чтобы сгруппировать степени с одинаковыми показателями:

$5 \cdot (2^{2002} \cdot 5^{2002})$.

Далее используем свойство степени произведения $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$:

$2^{2002} \cdot 5^{2002} = (2 \cdot 5)^{2002} = 10^{2002}$.

Подставив это обратно, получаем:

$5 \cdot 10^{2002}$.

Полученное выражение $5 \cdot 10^{2002}$ является стандартным видом числа, так как $a=5$ и $1 \le 5 < 10$, а $n=2002$ — целое число.

Ответ: $5 \cdot 10^{2002}$.