Тест, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ИТОГОВЫЙ ТЕСТ

QR-код на изображении содержит ссылку на итоговый тест по теме «Показательная функция». Ниже представлены развернутые решения для всех заданий этого теста.

Задание 1 (№ 26649)

Решите уравнение $2^{4-2x} = 64$.

Чтобы решить это показательное уравнение, необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2.

Представим число 64 как степень двойки: $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.

Теперь уравнение выглядит так: $2^{4-2x} = 2^6$.

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$4 - 2x = 6$

Переносим 4 в правую часть уравнения, меняя знак:

$-2x = 6 - 4$

$-2x = 2$

Разделим обе части на -2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2}{-2} = -1$.

Ответ: -1.

Задание 2 (№ 27267)

Решите уравнение $5^{x-7} = \frac{1}{125}$.

Приведем обе части уравнения к основанию 5.

Число 125 — это третья степень пятерки: $125 = 5^3$.

Следовательно, $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$ по свойству отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Подставим это в исходное уравнение: $5^{x-7} = 5^{-3}$.

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x - 7 = -3$

Переносим -7 в правую часть, меняя знак на противоположный:

$x = -3 + 7$

$x = 4$.

Ответ: 4.

Задание 3 (№ 77353)

Решите уравнение $(\frac{1}{3})^{x-8} = \frac{1}{9}$.

Приведем правую часть уравнения к основанию $\frac{1}{3}$.

Мы знаем, что $9 = 3^2$, поэтому $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = (\frac{1}{3})^2$.

Уравнение принимает вид: $(\frac{1}{3})^{x-8} = (\frac{1}{3})^2$.

Основания степеней равны, значит, равны и их показатели:

$x - 8 = 2$

$x = 2 + 8$

$x = 10$.

Ответ: 10.

Задание 4 (№ 26992)

Решите уравнение $16^{x-9} = \frac{1}{2}$.

Для решения приведем обе части к общему основанию 2.

Левая часть: $16 = 2^4$. Тогда $16^{x-9} = (2^4)^{x-9} = 2^{4(x-9)} = 2^{4x-36}$.

Правая часть: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Уравнение преобразуется к виду: $2^{4x-36} = 2^{-1}$.

Приравниваем показатели степеней:

$4x - 36 = -1$

$4x = 36 - 1$

$4x = 35$

$x = \frac{35}{4} = 8.75$.

Ответ: 8.75.

Задание 5 (№ 32018)

Найдите корень уравнения $3^{x-3} = 81$.

Приведем обе части уравнения к основанию 3.

Число 81 можно представить как степень тройки: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Уравнение принимает вид: $3^{x-3} = 3^4$.

Поскольку основания равны, приравниваем показатели:

$x - 3 = 4$

$x = 4 + 3$

$x = 7$.

Ответ: 7.

Задание 6 (№ 243455)

Решите уравнение $8^{9-x} = 64^x$.

Приведем обе части уравнения к общему основанию 8, так как $64 = 8^2$.

Правая часть: $64^x = (8^2)^x = 8^{2x}$.

Теперь уравнение выглядит так: $8^{9-x} = 8^{2x}$.

Приравниваем показатели степеней:

$9 - x = 2x$

Переносим $-x$ в правую часть:

$9 = 2x + x$

$9 = 3x$

$x = \frac{9}{3} = 3$.

Ответ: 3.

Задание 7 (№ 243456)

Решите уравнение $2^{3+x} = 0.4 \cdot 5^{3+x}$.

Заметим, что в обеих частях уравнения есть степени с одинаковым показателем $3+x$.

Разделим обе части уравнения на $5^{3+x}$. Это можно сделать, так как $5^{3+x} > 0$ при любом $x$.

$\frac{2^{3+x}}{5^{3+x}} = 0.4$

Используем свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:

$(\frac{2}{5})^{3+x} = 0.4$

Представим десятичную дробь 0.4 в виде обыкновенной: $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Уравнение принимает вид: $(\frac{2}{5})^{3+x} = (\frac{2}{5})^1$.

Основания степеней равны, следовательно, равны и их показатели:

$3 + x = 1$

$x = 1 - 3$

$x = -2$.

Ответ: -2.

Задание 8 (№ 16955)

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения $36^{x-5} = \frac{1}{6}$.

Сначала найдем корень уравнения. Приведем обе части к основанию 6.

$36 = 6^2$, поэтому $36^{x-5} = (6^2)^{x-5} = 6^{2(x-5)} = 6^{2x-10}$.

$\frac{1}{6} = 6^{-1}$.

Получаем уравнение: $6^{2x-10} = 6^{-1}$.

Приравниваем показатели:

$2x - 10 = -1$

$2x = 9$

$x = \frac{9}{2} = 4.5$.

Теперь определим, какому из предложенных промежутков ([4, 5], [5, 6], [3, 4], [6, 7]) принадлежит корень $x=4.5$.

Проверяем: $4 \le 4.5 \le 5$. Неравенство верное.

Корень уравнения принадлежит промежутку $[4, 5]$.

Ответ: [4, 5].

Задание 9 (№ 38202)

Решите неравенство $3^x > \frac{1}{3}$.

Приведем обе части к основанию 3.

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $3^x > 3^{-1}$.

Так как основание степени $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется.

$x > -1$.

Решение в виде промежутка: $(-1, +\infty)$.

Ответ: $x > -1$.

Задание 10 (№ 25055)

Решите неравенство $2^{x-4} \le 1$.

Приведем правую часть к основанию 2. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $1 = 2^0$.

Неравенство принимает вид: $2^{x-4} \le 2^0$.

Основание степени $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), поэтому функция $y=2^x$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.

$x - 4 \le 0$

$x \le 4$.

Решение в виде промежутка: $(-\infty, 4]$.

Ответ: $x \le 4$.

Задание 11 (№ 34977)

Решите неравенство $(\frac{1}{5})^{x-5} \ge \frac{1}{25}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{5}$.

$\frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{5})^{x-5} \ge (\frac{1}{5})^2$.

Так как основание степени $a=\frac{1}{5}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{5} < 1$), показательная функция $y=(\frac{1}{5})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x - 5 \le 2$

$x \le 7$.

Решение в виде промежутка: $(-\infty, 7]$.

Ответ: $x \le 7$.

Задание 12 (№ 25056)

Решите неравенство $5^{5x-1} \ge 125$.

Приведем обе части к основанию 5.

$125 = 5^3$.

Неравенство принимает вид: $5^{5x-1} \ge 5^3$.

Основание $a=5$ больше единицы ($5 > 1$), функция $y=5^x$ возрастающая. Знак неравенства для показателей сохраняется.

$5x - 1 \ge 3$

$5x \ge 3 + 1$

$5x \ge 4$

$x \ge \frac{4}{5}$ или $x \ge 0.8$.

Решение в виде промежутка: $[0.8, +\infty)$.

Ответ: $x \ge 0.8$.