Номер 1, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Задание 1.

Зная, что $x^2 - 3x - 5 = 0$, найдите значение выражения $\frac{x^3 + 27}{2x + 6}$.

Для того чтобы найти значение выражения, сперва упростим его.

Числитель дроби $\frac{x^3 + 27}{2x + 6}$ представляет собой сумму кубов. Разложим его на множители по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$.

В знаменателе дроби $2x + 6$ вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2x + 6 = 2(x+3)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{x^3 + 27}{2x + 6} = \frac{(x+3)(x^2 - 3x + 9)}{2(x+3)}$.

Прежде чем сократить дробь на $(x+3)$, необходимо убедиться, что $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. Для этого подставим значение $x=-3$ в исходное уравнение $x^2 - 3x - 5 = 0$:

$(-3)^2 - 3(-3) - 5 = 9 + 9 - 5 = 13$.

Поскольку получилось $13 \neq 0$, то $x \neq -3$, и мы можем сократить дробь на $(x+3)$.

После сокращения выражение принимает вид:

$\frac{x^2 - 3x + 9}{2}$.

Теперь воспользуемся условием $x^2 - 3x - 5 = 0$. Из этого уравнения можно выразить $x^2 - 3x$:

$x^2 - 3x = 5$.

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Ответ: 7