Номер 7.51, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.51. В десятичной записи 12-значного числа $\text{k}$ цифры 2 и 9 встречаются по 2 раза, а остальные – по одному разу. Может ли $\text{k}$ быть точным квадратом?

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 9. Число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9. Сначала найдем сумму цифр числа $k$. В десятичной записи числа $k$ цифры 2 и 9 встречаются по 2 раза, а остальные цифры (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8) — по одному разу. Таким образом, сумма цифр числа $k$ равна: $S = (2 \cdot 2) + (2 \cdot 9) + (0+1+3+4+5+6+7+8) = 4 + 18 + 34 = 56$. Можно вычислить сумму и по-другому: сумма всех цифр от 0 до 9 равна 45. В нашем наборе цифр по сравнению с полным набором {0, 1, ..., 9} добавлены еще по одной цифре 2 и 9. Значит, сумма цифр равна $45 + 2 + 9 = 56$.

Теперь найдем остаток от деления числа $k$ на 9. Он равен остатку от деления суммы его цифр на 9. $56 = 6 \cdot 9 + 2$. Следовательно, остаток от деления числа $k$ на 9 равен 2, что можно записать как $k \equiv 2 \pmod{9}$.

Рассмотрим, какие остатки могут иметь точные квадраты при делении на 9. Пусть $n$ — целое число. Проверим квадраты всех возможных остатков при делении $n$ на 9: $0^2 \equiv 0 \pmod{9}$ $1^2 \equiv 1 \pmod{9}$ $2^2 \equiv 4 \pmod{9}$ $3^2 = 9 \equiv 0 \pmod{9}$ $4^2 = 16 \equiv 7 \pmod{9}$ $5^2 = 25 \equiv 7 \pmod{9}$ $6^2 = 36 \equiv 0 \pmod{9}$ $7^2 = 49 \equiv 4 \pmod{9}$ $8^2 = 64 \equiv 1 \pmod{9}$ Таким образом, остаток от деления точного квадрата на 9 может быть только одним из чисел: 0, 1, 4 или 7.

Число $k$ имеет остаток 2 при делении на 9. Так как 2 не входит в множество возможных остатков {0, 1, 4, 7}, число $k$ не может быть точным квадратом.

Ответ: нет, не может.