Номер 7.44, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.44. Докажите, что пятая степень любого натурального числа и само это число оканчиваются одинаковой цифрой.

Для того чтобы доказать, что пятая степень любого натурального числа $n$ и само число $n$ оканчиваются на одинаковую цифру, необходимо показать, что их разность $n^5 - n$ делится на 10 без остатка.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно делится одновременно на 2 и на 5 (поскольку 2 и 5 — взаимно простые числа, и $2 \cdot 5 = 10$). Таким образом, задача сводится к доказательству того, что выражение $n^5 - n$ делится на 2 и на 5 для любого натурального числа $n$.

Разложим выражение $n^5 - n$ на множители: $n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)(n^2 + 1)$.

1. Докажем делимость на 2.

В полученном разложении $(n-1)n(n+1)(n^2 + 1)$ есть сомножитель $(n-1)n$. Это произведение двух последовательных натуральных чисел. Среди любых двух последовательных чисел одно обязательно является четным. Следовательно, их произведение $(n-1)n$ всегда делится на 2. А если один из множителей делится на 2, то и все произведение делится на 2. Таким образом, $n^5 - n$ делится на 2.

2. Докажем делимость на 5.

Здесь можно воспользоваться малой теоремой Ферма, которая утверждает, что для любого целого числа $a$ и любого простого числа $p$ справедливо сравнение $a^p \equiv a \pmod{p}$. Применим эту теорему для нашего случая, взяв $p=5$ (это простое число) и $a=n$. Получаем: $n^5 \equiv n \pmod{5}$. Это сравнение по определению означает, что разность $n^5 - n$ делится на 5.

Итак, мы доказали, что выражение $n^5 - n$ делится и на 2, и на 5. Поскольку 2 и 5 взаимно просты, то $n^5 - n$ должно делиться и на их произведение, то есть на 10.

Если разность двух чисел $n^5$ и $n$ делится на 10, это означает, что они имеют одинаковый остаток при делении на 10. Остаток от деления числа на 10 — это его последняя цифра. Следовательно, числа $n^5$ и $n$ оканчиваются на одну и ту же цифру.

Ответ: Было доказано, что для любого натурального числа $n$ разность $n^5 - n$ кратна 10. Это означает, что числа $n^5$ и $n$ всегда оканчиваются на одну и ту же цифру.