Номер 7.37, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.37. Упростите:

1) $\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)};$

2) $1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{y}}};$

3) $\frac{1}{a-\frac{1}{a-\frac{a}{1-a}}}.$

1) Обозначим данное выражение через $f(x)$:

$f(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$.

Заметим, что $f(x)$ является многочленом от переменной $x$, степень которого не превышает 2. Это выражение представляет собой интерполяционный многочлен Лагранжа.

Вычислим значения этого многочлена в точках $x=a$, $x=b$ и $x=c$.

При $x=a$:

$f(a) = \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(a-c)(a-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)} = 1 + \frac{(a-c) \cdot 0}{(b-c)(b-a)} + \frac{0 \cdot (a-b)}{(c-a)(c-b)} = 1 + 0 + 0 = 1$.

При $x=b$:

$f(b) = \frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)} = 0 + 1 + 0 = 1$.

При $x=c$:

$f(c) = \frac{(c-b)(c-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(c-c)(c-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)} = 0 + 0 + 1 = 1$.

Таким образом, многочлен $f(x)$ степени не выше второй принимает значение 1 в трех различных точках $a$, $b$ и $c$. Единственный многочлен степени не выше второй, обладающий таким свойством, — это многочлен, тождественно равный 1.

Действительно, рассмотрим многочлен $g(x) = f(x) - 1$. Его степень также не выше второй. Он имеет три различных корня: $a$, $b$ и $c$. Это означает, что $g(x)$ должен быть тождественно равен нулю. Следовательно, $f(x) - 1 = 0$, то есть $f(x) = 1$.

Ответ: $1$

2) Упростим данную многоэтажную дробь $1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{y}}}$ по действиям, начиная с самого нижнего знаменателя.

1. Сначала выполним сложение в самом нижнем знаменателе:

$3+\frac{1}{y} = \frac{3y}{y} + \frac{1}{y} = \frac{3y+1}{y}$.

2. Подставим полученный результат в дробь более высокого уровня:

$2+\frac{1}{3+\frac{1}{y}} = 2+\frac{1}{\frac{3y+1}{y}} = 2 + \frac{y}{3y+1} = \frac{2(3y+1)}{3y+1} + \frac{y}{3y+1} = \frac{6y+2+y}{3y+1} = \frac{7y+2}{3y+1}$.

3. Наконец, подставим это в исходное выражение:

$1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{y}}} = 1+\frac{1}{\frac{7y+2}{3y+1}} = 1 + \frac{3y+1}{7y+2} = \frac{7y+2}{7y+2} + \frac{3y+1}{7y+2} = \frac{7y+2+3y+1}{7y+2} = \frac{10y+3}{7y+2}$.

Ответ: $\frac{10y+3}{7y+2}$

3) Упростим выражение $\frac{1}{a-\frac{1}{a-\frac{a}{1-a}}}$ по действиям, начиная с самой внутренней части.

1. Упростим знаменатель $a-\frac{a}{1-a}$, предполагая, что $a \neq 1$:

$a-\frac{a}{1-a} = \frac{a(1-a)}{1-a} - \frac{a}{1-a} = \frac{a-a^2-a}{1-a} = \frac{-a^2}{1-a}$.

2. Подставим результат в следующий знаменатель, предполагая, что $a \neq 0$:

$a-\frac{1}{a-\frac{a}{1-a}} = a - \frac{1}{\frac{-a^2}{1-a}} = a - \frac{1-a}{-a^2} = a + \frac{1-a}{a^2} = \frac{a \cdot a^2}{a^2} + \frac{1-a}{a^2} = \frac{a^3+1-a}{a^2}$.

3. Выполним последнее действие, взяв обратную дробь, предполагая, что $a^3 - a + 1 \neq 0$:

$\frac{1}{\frac{a^3-a+1}{a^2}} = \frac{a^2}{a^3-a+1}$.

Ответ: $\frac{a^2}{a^3-a+1}$