Номер 7.31, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.31. Постройте график функции:

1) $y = -\frac{1}{2}x^2;$

2) $y = \frac{x^3}{3};$

3) $y = -\frac{4}{x}.$

1) Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}x^2$ выполним следующие шаги:

1. Определим тип функции. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

2. Проанализируем коэффициенты. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$. Так как он отрицателен ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы для функции вида $y=ax^2$ находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.

3. Проверим на четность/нечетность. Функция является четной, так как $y(-x) = -\frac{1}{2}(-x)^2 = -\frac{1}{2}x^2 = y(x)$. Это означает, что график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

4. Составим таблицу значений. Вычислим значения $y$ для нескольких значений $x$ и используем симметрию.

5. Построим график. Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией, получив параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз. График симметричен относительно оси Oy и проходит через точки, например, $(2, -2)$ и $(-2, -2)$.

2) Для построения графика функции $y = \frac{x^3}{3}$ выполним следующие шаги:

1. Определим тип функции. Это кубическая функция, ее график — кубическая парабола.

2. Проанализируем свойства. График проходит через начало координат, так как при $x=0$, $y=0$.

3. Проверим на четность/нечетность. Функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{(-x)^3}{3} = -\frac{x^3}{3} = -y(x)$. Это означает, что график симметричен относительно начала координат.

4. Составим таблицу значений. Вычислим значения $y$ для нескольких неотрицательных значений $x$, а значения для отрицательных $x$ найдем из условия симметрии.

5. Построим график. Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

Ответ: График функции — кубическая парабола, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и симметричная относительно него. График расположен в I и III координатных четвертях.

3) Для построения графика функции $y = -\frac{4}{x}$ выполним следующие шаги:

1. Определим тип функции. Это функция обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола.

2. Проанализируем свойства. Область определения функции: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, то есть $x \neq 0$. Коэффициент $k = -4$ отрицателен, поэтому ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

3. Определим асимптоты. Прямые $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox) являются асимптотами графика, то есть кривая будет к ним бесконечно приближаться, но не пересечет их.

4. Составим таблицу значений для каждой ветви.

5. Построим график. Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавными линиями, получив две ветви гиперболы.

Ответ: График функции — гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат. График симметричен относительно начала координат и проходит, например, через точки $(2, -2)$ и $(-2, 2)$.