Номер 7.35, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.35. Выполните действия:

1) $\frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} - \frac{1}{2c-4c^2}$;

2) $\frac{3}{x^2+2xy+y^2} - \frac{4}{x^2-2xy+y^2} + \frac{5}{x^2-y^2}$.

1) Исходное выражение: $\frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} - \frac{1}{2c-4c^2}$.

Сначала преобразуем знаменатель третьей дроби, вынеся за скобки общий множитель: $2c-4c^2 = 2c(1-2c) = -2c(2c-1)$.

Теперь подставим это в исходное выражение: $\frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} - \frac{1}{-2c(2c-1)}$.

Знак "минус" перед третьей дробью меняется на "плюс": $\frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} + \frac{1}{2c(2c-1)}$.

Общим знаменателем для всех трех дробей является выражение $2c(2c-1)$. Приведем все дроби к этому знаменателю. Для первой дроби дополнительный множитель $(2c-1)$, для второй - $2c$, третья дробь уже имеет нужный знаменатель.

$\frac{(2c-1)(2c-1)}{2c(2c-1)} - \frac{2c \cdot 2c}{2c(2c-1)} + \frac{1}{2c(2c-1)} = \frac{(2c-1)^2 - 4c^2 + 1}{2c(2c-1)}$.

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$: $\frac{(4c^2 - 4c + 1) - 4c^2 + 1}{2c(2c-1)}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{4c^2 - 4c + 1 - 4c^2 + 1}{2c(2c-1)} = \frac{-4c + 2}{2c(2c-1)}$.

Вынесем в числителе за скобки -2: $\frac{-2(2c - 1)}{2c(2c-1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $2(2c-1)$: $\frac{-1}{c}$.

Ответ: $-\frac{1}{c}$.

2) Исходное выражение: $\frac{3}{x^2+2xy+y^2} - \frac{4}{x^2-2xy+y^2} + \frac{5}{x^2-y^2}$.

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов):

$x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$

$x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$

$x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$

Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$\frac{3}{(x+y)^2} - \frac{4}{(x-y)^2} + \frac{5}{(x-y)(x+y)}$.

Наименьший общий знаменатель для этих дробей будет $(x+y)^2(x-y)^2$. Приведем все дроби к нему:

$\frac{3(x-y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} - \frac{4(x+y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} + \frac{5(x-y)(x+y)}{(x+y)^2(x-y)^2}$.

Запишем все под одной чертой: $\frac{3(x-y)^2 - 4(x+y)^2 + 5(x-y)(x+y)}{(x+y)^2(x-y)^2}$.

Раскроем скобки в числителе, а знаменатель представим как $(x^2-y^2)^2$: $\frac{3(x^2-2xy+y^2) - 4(x^2+2xy+y^2) + 5(x^2-y^2)}{(x^2-y^2)^2}$.

$\frac{3x^2-6xy+3y^2 - 4x^2-8xy-4y^2 + 5x^2-5y^2}{(x^2-y^2)^2}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(3x^2-4x^2+5x^2) + (-6xy-8xy) + (3y^2-4y^2-5y^2)}{(x^2-y^2)^2}$.

$\frac{4x^2 - 14xy - 6y^2}{(x^2-y^2)^2}$.

Ответ: $\frac{4x^2 - 14xy - 6y^2}{(x^2-y^2)^2}$.