Номер 7.34, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.34. Сократите дробь:

1) $\frac{ac + bx + ax + bc}{ay + 2bx + 2ax + by}$

2) $\frac{x - xy + z - zy}{1 - 3y + 3y^2 - y^3}$

3) $\frac{3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3}{9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5}$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{ac+bx+ax+bc}{ay+2bx+2ax+by}$, разложим на множители числитель и знаменатель методом группировки.

Разложим числитель: $ac+bx+ax+bc = (ac+ax) + (bc+bx) = a(c+x) + b(c+x) = (a+b)(c+x)$.

Разложим знаменатель: $ay+2bx+2ax+by = (ay+by) + (2ax+2bx) = y(a+b) + 2x(a+b) = (a+b)(y+2x)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a+b)$:

$\frac{(a+b)(c+x)}{(a+b)(y+2x)} = \frac{c+x}{y+2x}$.

Ответ: $\frac{c+x}{y+2x}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{x-xy+z-zy}{1-3y+3y^2-y^3}$. Для ее сокращения разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе применим метод группировки: $x-xy+z-zy = x(1-y) + z(1-y) = (x+z)(1-y)$.

Выражение в знаменателе является формулой куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. При $a=1$ и $b=y$ получаем: $1-3y+3y^2-y^3 = (1-y)^3$.

Теперь подставим полученные разложения в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(x+z)(1-y)}{(1-y)^3} = \frac{x+z}{(1-y)^2}$.

Ответ: $\frac{x+z}{(1-y)^2}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{3a^3+ab^2-6a^2b-2b^3}{9a^5-ab^4-18a^4b+2b^5}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $3a^3+ab^2-6a^2b-2b^3 = (3a^3-6a^2b) + (ab^2-2b^3) = 3a^2(a-2b) + b^2(a-2b) = (3a^2+b^2)(a-2b)$.

Знаменатель: $9a^5-ab^4-18a^4b+2b^5 = (9a^5-18a^4b) - (ab^4-2b^5) = 9a^4(a-2b) - b^4(a-2b) = (9a^4-b^4)(a-2b)$.

Множитель $(9a^4-b^4)$ можно разложить дальше, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$9a^4-b^4 = (3a^2)^2-(b^2)^2 = (3a^2-b^2)(3a^2+b^2)$.

Таким образом, знаменатель равен $(3a^2-b^2)(3a^2+b^2)(a-2b)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общие множители $(a-2b)$ и $(3a^2+b^2)$:

$\frac{(3a^2+b^2)(a-2b)}{(3a^2-b^2)(3a^2+b^2)(a-2b)} = \frac{1}{3a^2-b^2}$.

Ответ: $\frac{1}{3a^2-b^2}$