Номер 7.28, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.28. Докажите, что при любом натуральном $\text{n}$ значение дроби $\frac{9^{2n} + 14}{5}$ является натуральным числом.

Для того чтобы доказать, что значение дроби $\frac{9^{2n}+14}{5}$ является натуральным числом при любом натуральном $n$, необходимо доказать, что числитель $9^{2n}+14$ делится нацело на 5.

Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5. Проанализируем, на какую цифру оканчивается значение выражения $9^{2n}+14$.

Рассмотрим, на какие цифры оканчиваются степени числа 9:

$9^1 = 9$ (оканчивается на 9)

$9^2 = 81$ (оканчивается на 1)

$9^3 = 729$ (оканчивается на 9)

$9^4 = 6561$ (оканчивается на 1)

Можно заметить, что последняя цифра степеней числа 9 циклически повторяется. Если показатель степени нечетный, то последняя цифра равна 9. Если показатель степени четный, то последняя цифра равна 1.

В выражении $9^{2n}$ показатель степени $2n$ является четным числом при любом натуральном $n$ (поскольку $n$ — натуральное число, т.е. $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$, то $2n$ принимает значения $2, 4, 6, \dots$). Следовательно, число $9^{2n}$ всегда оканчивается на цифру 1.

Теперь найдем последнюю цифру числителя $9^{2n}+14$. Последняя цифра суммы двух чисел равна последней цифре суммы их последних цифр. Последняя цифра числа $9^{2n}$ — это 1. Последняя цифра числа 14 — это 4.

Сумма последних цифр: $1 + 4 = 5$.

Таким образом, число $9^{2n}+14$ при любом натуральном $n$ оканчивается на 5, а значит, оно всегда делится на 5 нацело.

Поскольку при натуральном $n$ числитель $9^{2n}+14$ является положительным целым числом, которое делится на 5, то значение дроби $\frac{9^{2n}+14}{5}$ всегда будет натуральным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.