Номер 7.25, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.25. Сократите дробь:

1) $\frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4(5-a)}$;

2) $\frac{3x^2+4xy}{9x^2y-16y^3}$;

3) $\frac{2ac-4bc}{5a^3c-20acb^2}$.

1) Дана дробь $\frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4(5-a)}$.

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на простейшие множители и сократить общие. Заметим, что выражение в знаменателе $(5-a)$ можно представить как $-(a-5)$.

Подставим это в дробь: $\frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4(-(a-5))}$

Вынесем знак минус перед всей дробью и сгруппируем множители для сокращения:

$-\frac{8 \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot (a-5)}{12 \cdot x \cdot y^4 \cdot (a-5)}$

Теперь сократим общие множители:

1. Сократим $(a-5)$ в числителе и знаменателе (при условии $a \neq 5$).

2. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

3. Сократим переменные: $\frac{x^2}{x} = x$ и $\frac{y^2}{y^4} = \frac{1}{y^2}$.

В результате получаем: $-\frac{2x}{3y^2}$

Ответ: $-\frac{2x}{3y^2}$

2) Дана дробь $\frac{3x^2+4xy}{9x^2y-16y^3}$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $x$: $3x^2+4xy = x(3x+4y)$.

В знаменателе сначала вынесем за скобки общий множитель $y$: $9x^2y-16y^3 = y(9x^2-16y^2)$.

Затем применим к выражению в скобках формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $9x^2-16y^2 = (3x)^2 - (4y)^2 = (3x-4y)(3x+4y)$.

Таким образом, знаменатель равен $y(3x-4y)(3x+4y)$.

Подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь: $\frac{x(3x+4y)}{y(3x-4y)(3x+4y)}$

Сократим общий множитель $(3x+4y)$ в числителе и знаменателе (при условии $3x+4y \neq 0$): $\frac{x}{y(3x-4y)}$

Ответ: $\frac{x}{y(3x-4y)}$

3) Дана дробь $\frac{2ac-4bc}{5a^3c-20acb^2}$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $2c$: $2ac-4bc = 2c(a-2b)$.

В знаменателе сначала вынесем за скобки общий множитель $5ac$: $5a^3c-20acb^2 = 5ac(a^2-4b^2)$.

Затем применим к выражению в скобках формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $a^2-4b^2 = a^2-(2b)^2 = (a-2b)(a+2b)$.

Таким образом, знаменатель равен $5ac(a-2b)(a+2b)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{2c(a-2b)}{5ac(a-2b)(a+2b)}$

Сократим общие множители $c$ и $(a-2b)$ в числителе и знаменателе (при условии $c \neq 0$ и $a-2b \neq 0$): $\frac{2}{5a(a+2b)}$

Ответ: $\frac{2}{5a(a+2b)}$